Para la regla de que a a la potencia de 0 = 1, ¿por qué a (la base) no puede ser 0? Educación te da un futuro mejor

¿Qué quieres decir con que la base no puede ser 0? Es totalmente apropiado, incluso demostrable, que 0⁰ = 1 en el contexto de exponentes enteros; esto resulta de la regla del producto vacío, que es el caso especial del principio de operación nulary aplicado a la multiplicación. Existe cierto debate sobre lo que debe hacerse en el contexto de exponentes reales.

Espero que leas esta restricción en un libro de texto de álgebra avanzada de la escuela secundaria y no se proporcionó ninguna explicación. Sospecho que es porque los editores de libros de texto no quieren que los maestros expliquen esto a los estudiantes. Parecen querer evitar cualquier cosa en la que haya desacuerdo entre los matemáticos; simplemente declare una posición particular como un hecho incuestionable (0 no es un número natural es otro ejemplo), ya que admitir el desacuerdo confundiría a los estudiantes, después de que se supone que todos los problemas matemáticos siempre tener una respuesta específica, sin importar quién la resuelva. La expresión de 0⁰ es solo una de esas situaciones. Además, la mayoría de los maestros de matemáticas de la escuela secundaria tenían su educación universitaria centrada en la educación en lugar de las matemáticas avanzadas y muchos no son expertos en tratar algunos de los aspectos más sutiles de las matemáticas.

Tres argumentos comunes que los maestros y los estudiantes con lavado de cerebro usan comúnmente son, en el mejor de los casos, irrelevantes y, lo más probable, totalmente inválidos:

0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, que está indefinido, por lo que 0⁰ debe estar indefinido. Este es un razonamiento totalmente inválido, por lo que cualquier conclusión a la que llegue es inválida. La conclusión de una demostración o demostración inválida puede o no ser correcta en realidad, pero no puede usarse como justificación, incluso si en realidad es una conclusión correcta. Entonces, ¿qué es inválido aquí? 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ no es válido: existen restricciones de aplicación de las leyes de poderes que deben cumplirse para que su uso sea válido. Una de esas restricciones es que ninguna parte de una expresión en ninguna etapa de la aplicación de una ley de poderes da como resultado una división por 0, que se ha violado en esta ecuación cuyo uso está “justificado” únicamente por el uso de una ley de división de poderes —Un uso prohibido por una declaración debidamente expresada de las leyes de poderes. Una vez más, a algunos libros de texto les resulta demasiado complicado expresar explícitamente estas restricciones cuando establecen las leyes de los poderes, aparentemente no confían en que ni los maestros ni los estudiantes entiendan las restricciones. Eso lleva a que los maestros y estudiantes no sepan que las restricciones existen y que usen las leyes de poderes de manera inválida, como en esta situación.
[math] b ^ a = \ text {e} ^ {a \ ln b} [/ math], que funciona para b > 0 y cualquier número real. El hecho de que la expresión en el lado derecho del signo igual no sea significativa en ciertos casos, eso no significa que el lado izquierdo no esté definido. Esta igualdad no es definitoria, simplemente denota una propiedad que siempre es cierta bajo ciertas restricciones. (Nota: esto cambia cuando entramos en el contexto de números complejos). No es solo 0⁰ el que tiene problemas con esta expresión. ¿Qué tal 0¹, 0², 0³, …? La expresión implica ln 0 en todos esos casos, que no está definida, y la última vez que escuché consideramos que 0¹, 0² y 0³ están todos definidos e iguales a 0, independientemente de que el lado derecho de la ecuación no esté definido. La fórmula de la derecha no funciona para esos casos obvios, entonces, ¿por qué sacaríamos alguna conclusión de su uso para 0⁰? Existe una situación similar para −1 elevado a cualquier exponente entero: si el exponente es un entero impar, se aplica el resultado -1, y para cualquier exponente par se aplica el resultado +1; para un exponente no entero, el resultado no está definido en el contexto de números reales. En −1 no está definido, por lo que al lado derecho de la ecuación no le importa si a es un número entero par, entero impar o no entero; la expresión no está definida en el contexto de números reales.
Limits es otro caso extraño y mal uso del razonamiento matemático que se usa a menudo. Debido a que los estudiantes más jóvenes generalmente no tienen idea de qué es un límite, este argumento a veces se formula en relación con dos ejemplos directos: si [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas] para todas las x y [matemáticas] 0 ^ x = 0 [ / math] para todo x , ¿qué sucede cuando x = 0? La primera expresión diría 0⁰ = 1 y la segunda expresión diría 0⁰ = 0, lo cual es una contradicción, por lo que 0⁰ debe ser indefinido. El lector es absorbido por una premisa falsa. No es cierto que [matemática] 0 ^ x = 0 [/ matemática] incluso para todas las x distintas de cero. Se le alimenta una afirmación verdadera (al menos para x cero), compruébelo y se siente más relajado, y luego se alimenta de la segunda afirmación y tiende a pensar casualmente (estar relajado) que también tiene sentido y parece paralelo a la primera, ya que, después, todos 0² = 0, pero no está pensando con suficiente cuidado. ¿Qué sucede si x es −1 o cualquier número negativo? [matemática] 0 ^ x [/ matemática] no es 0 en esos casos, es indefinido. Ahora, si se le dan dos situaciones, una en la que se garantiza que una expresión funciona para todos los números reales distintos de cero, no solo eso, sino también todos los números complejos distintos de cero e incluso todos los cuaterniones distintos de cero, mientras que otra situación ni siquiera funciona en absoluto para cualquier número real negativo (no importa los números complejos y los cuaterniones), ¿estaría dispuesto a considerar la situación que maneja un conjunto de valores mucho más general como quizás más indicativo de cómo deberíamos tratar el posible caso de excepción de 0, que la situación que funciona solo para un conjunto de casos muy restrictivo? Si [math] x ^ 0 [/ math] no es igual a 0 para x <0, ¿por qué deberíamos esperar [math] x ^ 0 = 0 [/ math] para x = 0? No deberíamos. Para el concepto más amplio de límites, es fundamental recordar que si existe un límite y, de ser así, cuál es el valor, para una función f ( x ) como x → a es completamente independiente de si f ( a ) está definido o no , y si es así, cuál es el valor. El hecho (y de hecho es cierto) de que las funciones f ( x ) yg ( x ) se pueden encontrar de manera tal que f ( x ) yg ( x ) se aproximen a 0 desde el lado positivo como x → a pero [matemáticas] f (x) ^ {g (x)} [/ math] puede acercarse a cualquier valor real no negativo que desee o que no esté definido. no tiene ningún impacto sobre si 0⁰ en sí mismo, como una expresión independiente dada que no está en el contexto de los límites, se define o no, y si se define cuál es su valor. Puede probar todo tipo de afirmaciones al contenido de su corazón mostrando cómo y por qué se arruinan tales límites, pero eso no tiene nada que ver con si 0⁰ está definido y cuál es su valor. En particular, no prueba que 0⁰ en sí no esté definido.

El hecho es que hay algunas aplicaciones muy importantes para las cuales 0⁰ debe ser 1, nuevamente al menos en el contexto de exponentes enteros. Esto nos lleva a una doble razón para considerar 0⁰ = 1, al menos en el contexto de exponentes enteros (se ha demostrado que es así, y es útil hacerlo): los matemáticos valoran el rigor de la prueba y valoran la utilidad. Como solo uno de los muchos ejemplos:

[matemáticas] \ text {e} ^ x = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!} [/ math].

Esto a veces se usa como la definición de [math] \ text {e} ^ x [/ math], especialmente en el contexto de números complejos, y otras veces se usa alguna otra definición a partir de la cual la relación anterior se puede derivar y demostrar mantenga para todos los números reales y todos los números complejos. Eso significa que se cumple para x = 0. Por lo tanto,

[matemáticas] \ text {e} ^ 0 = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {0 ^ i} {i!} [/ math].

Ahora sabemos que e⁰ = 1. También sabemos que cada término en la suma anterior para i > 0, [matemática] 0 ^ i = 0 [/ matemática]. La única forma en que la suma puede ser igual a 1 para x = 0 es que el término i = 0 tenga valor 1. ¿Cuál es el término i = 0? [matemáticas] \ frac {0 ^ 0} {0!} [/ matemáticas]. Ahora sabemos que 0! = 1 (y en realidad es por la misma razón fundamental que 0⁰ = 1, la regla del producto vacío). Por lo tanto, si 1 = 0⁰ / 1, entonces 0⁰ debe ser igual a 1, lo desee o no. Esto evita la necesidad de tener una advertencia especial para la serie de potencia [math] \ text {e} ^ x [/ math] para x = 0, lo que sería ridículo tener que hacer. Hay muchos otros ejemplos de este tipo: de aplicación similar y de aplicación bastante diferente. Si camina como un pato, nada como un pato y grazna como un pato, quizás deberíamos considerar la posibilidad de que realmente sea un pato. Si se demuestra que 0⁰ es 1, actúa como 1, y es útil ser considerado como 1, entonces quizás deberíamos considerar que de hecho es 1 y dejar atrás el lavado de cerebro del libro de texto de la escuela secundaria y el maestro.

Si desea debatir cómo debemos tratar 0⁰ en el contexto de exponentes reales y si es sensato tratar 0⁰ de manera diferente a 0⁰ cuando uno está en el contexto de exponentes enteros y el otro está en el contexto de exponentes reales, hay razones válidas para considerar eso como una posibilidad y hay razones válidas para ignorar esa posibilidad. Debate, no participaré. Sin embargo, en el contexto de exponentes enteros, 0⁰ debe considerarse como definido e igual a 1.