¿Cómo puede la suma de todos los números hasta el infinito ser -1/12?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ bf {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ dots = \ dfrac {-1} {12} = \ dfrac {-1} {20}}} [/ math]

Esta es una relación muy famosa del matemático indio Srinivas Ramanujan. Si bien su respuesta fue [matemáticas] \ dfrac {-1} {12} [/ matemáticas] Resolví la expresión en mi camino para obtener [matemáticas] \ dfrac {-1} {20} [/ matemáticas].

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PREPARACIÓN

Antes de comenzar, hay dos series que debe tener en cuenta:

[matemáticas] \ displaystyle 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – \ dots = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – \ dots = \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]

Primera Expresión – Solución

[matemáticas] \ displaystyle S ‘= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S ‘= 0 + 1 – 1 + 1 – 1 + \ puntos [/ matemáticas] ← Desplazar cada término por uno

Ahora sumando las dos expresiones anteriores juntas …

[matemáticas] \ displaystyle 2S ‘= 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ bf {S ‘= \ dfrac {1} {2}}} [/ math]

Segunda expresión – Solución

[matemáticas] \ displaystyle S ” = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – \ puntos [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle S ” = 0 + 1 – 2 + 3 – 4 + \ puntos [/ matemática] ← Nuevamente cambiando por un término

Nuevamente agregando las dos expresiones juntas …

[matemáticas] \ displaystyle 2S ” = \ color {rojo} {1 – 1 + 1 – 1 + 1 – \ puntos} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2S ” = \ color {rojo} {\ dfrac {1} {2}} [/ matemáticas] ← Acabamos de encontrar el valor ahora

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ bf {S ” = \ dfrac {1} {4}}} [/ math]

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SOLUCION DE RAMANUJAN

[matemáticas] \ displaystyle \; S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 4S = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 + \ puntos [/ matemáticas] ← Tenga en cuenta que he colocado los términos solo bajo números pares

Restando [matemáticas] 4S [/ matemáticas] de [matemáticas] S [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle -3S = \ color {rojo} {1 – 2 + 3 – 4 + 5 – \ puntos} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -3S = \ color {rojo} {\ dfrac {1} {4}} [/ matemáticas] ← Encontramos el valor …

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ bf {\ dfrac {-1} {12}}} [/ math]

También hay un video de Numberphile que lo explica:

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MI SOLUCIÓN

Esto es largo, así que tengan paciencia conmigo.

Tenemos tres expresiones:

[matemáticas] \ displaystyle S_1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – \ dots = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S_2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – \ dots = \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ bf {S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ dots = ???} [/ matemáticas]

Tomemos [math] S [/ math] y [math] S_2 [/ math] juntos:

[matemáticas] \ displaystyle S_2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ puntos [/ matemáticas]

Agregándolos juntos:

[matemáticas] \ displaystyle S + S_2 = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + \ puntos [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S + S_2 = 2 (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ puntos) [/ matemáticas] ← Todos los términos pares se cancelaron en la suma

[matemáticas] \ displaystyle S + S_2 = 2 \ big [1 + (4 – 1) + (4 + 1) + (8 – 1) + (8 + 1) + \ dots \ big] [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle S + S_2 = 2 \ big [\ color {red} {(1 – 1 + 1 – 1 + 1 – \ dots)} + \ color {blue} {(8 + 16 + 24 + 32 + 40 + \ puntos)} \ grande] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S + S_2 = 2 \ big [\ color {red} {S_1} + \ color {blue} {8 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \ dots)} \ big] [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle S + S_2 = 2 \ big [S_1 + 8 \ color {blue} {S} \ big] [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle S + S_2 = 2S_1 + 16S [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S – 16S = 2S_1 – S_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ bf {-15S = 2S_1 – S_2} [/ matemáticas]

Ahora sustituyendo valores de [math] S_1 [/ math] y [math] S_2 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle -15S = 2 \ bigg (\ dfrac {1} {2} \ bigg) – \ bigg (\ dfrac {1} {4} \ bigg) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle -15S = 1 – \ dfrac {1} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -15S = \ dfrac {3} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle S = \ dfrac {3} {- 60} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ bf {S = \ dfrac {-1} {20}}} [/ math]

Answer 2

La suma de números naturales infinitos NO ES –1/12. El método utilizado para obtener ese resultado solo es aplicable para series convergentes.

La suma de los primeros n números naturales viene dada por n (n + 1) / 2, pon n como ∞. (∞) (∞ + 1) / 2 = ∞.

O simplemente podemos probar que la serie es divergente y, por lo tanto, su suma es infinita.

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

… ..

Como podemos observar, después de agregar el siguiente término a la serie, la suma de términos aumenta y la diferencia entre la suma anterior y la siguiente suma también sigue aumentando, por lo tanto, la serie es divergente.

Answer 3

Una muy buena explicación en video para esta prueba está disponible aquí:

Aprender con amigos: lecciones gratuitas de inglés y matemáticas

Answer 4

No. Pero se le da ese valor.

Las series divergentes no tienen una respuesta como una convergente. Pero se les puede asignar un valor.

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ – Wikipedia

Regularización de la función Zeta – Wikipedia

Resumen de Ramanujan – Wikipedia