¿Qué es [math] \ lim_ {x \ to \ infty} \ frac {(1 + 2x)} {(1 + 3x) ^ x} [/ math]?

La respuesta es cero.

[matemáticas]\; \; 0 \ le \ frac {1 + 2x} {(1 + 3x) ^ {x}} \ le \ frac {1 + 2x} {(1 + 3x) ^ {2}} \; \; \ forall \ ; \; x \ ge 2 \; \; [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas] \; \; 0 \ le \; [/ matemáticas]

[matemáticas] \; \; \ lim_ {x \ to \ infty} [/ matemáticas] [matemáticas] \; \ \ frac {1 + 2x} {(1 + 3x) ^ {x}} \; [/ matemáticas]

[matemáticas]\;\; \ le \ lim_ {x \ to \ infty} \; \ frac {1 + 2x} {(1 + 3x) ^ {2}} [/ math]

[matemáticas] \; = \; \ lim_ {x \ to \ infty} \; \ frac {\ frac {1} {x ^ {2}} + \ frac {2} {x}} {(\ frac {1 } {x} +3) (\ frac {1} {x} +3)} = 0 \;. \; [/matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] \; \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} \; [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1 + 2x} {(1 + 3x) ^ {x}} = 0 \ ;, [/ matemáticas]

por el teorema del emparedado de las extremidades