¿Cómo muestra que la función hipergeométrica [matemática] (1-x) ^ {cab} [/ matemática] [matemática] F (ca, cb; c; x) [/ matemática] también es una solución de [matemática] x (1-x) y ” + \ {c- (a + b + 1) x \} y’-aby = 0 [/ matemática]?

Answer 1

Consideremos la ecuación diferencial hipergeométrica:

[matemáticas] \ displaystyle {x (1-x) y ” (x) + \ {c- (a + b + 1) x \} y ‘(x) -aby (x) = 0} \ quad (1 )[/matemáticas]

Se sabe que la solución a esta ecuación diferencial es:

[matemáticas] \ displaystyle {y (x) = A * \, _2F_1 (a, b; c; x) + B * x ^ {1-c} \, _2F_1 (a-c + 1, b-c + 1 ; 2-c; x)}, [/ matemáticas]

donde [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​constantes, y [matemática] \, _2F_1 (a, b; c; x) [/ matemática] es la función hipergeométrica gaussiana u ordinaria.

Tenga en cuenta que Mathematica expresa la segunda solución como

[matemáticas] (- 1) ^ {1-c} B x ^ {1-c} \, _2F_1 (a-c + 1, b-c + 1; 2-c; x) [/ matemáticas]

Ahora considere la función

[matemáticas] (1-x) ^ {cabina} \, _2F_1 (ca, cb; c; x) [/ matemáticas]

Uno puede tomar [math] y (x) = (1-x) ^ {cab} \, _2F_1 (ca, cb; c; x) [/ math] en la ecuación diferencial [math] (1) [/ math] , luego diferencie mientras usa las propiedades de las funciones hipergeométricas y pruebe o verifique que esta función satisface la ecuación diferencial. El mismo resultado se puede calcular o verificar con Mathematica escribiendo el código:

  yf [x_] = (1 - x) ^ (c - a - b) * Hipergeométrica2F1 [c - a, c - b, c, x]; 
 FullSimplify [
  x * (1 - x) * yf '' [x] + (c - x * (a + b + 1)) * yf '[x] - a * b * yf [x]]

El resultado obtenido es [math] \ boxed {0} [/ math], lo que significa que la función dada es de hecho una solución a la ecuación diferencial hipergeométrica [math] (1) [/ math].

También se puede verificar que tenemos la relación:

[matemáticas] \ displaystyle {\, _2F_1 (a, b; c; x) = (1-x) ^ {- a-b + c} \, _2F_1 (ca, cb; c; x)} [/ matemáticas]

El tema se puede explorar más a fondo si consideramos el cambio de variable:

[matemáticas] x = 1-z [/ matemáticas]

Al aplicar este cambio, se obtiene la siguiente ecuación diferencial hipergeométrica:

[matemáticas] \ displaystyle {z (1-z) y ” (z) + ((a + b-c + 1) – (a + b + 1) z) y ‘(z) -aby (z) = 0} [/ matemáticas]

La solución a esta ecuación diferencial se calcula o verifica para ser:

[matemáticas] \ displaystyle {y (z) = C * \, _2F_1 (a, b; a + b-c + 1; z) \\ \ qquad + D * z ^ {- a-b + c} \, _2F_1 (ca, cb; -a-b + c + 1; z)}, [/ math]

donde [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] D [/ matemáticas] son ​​constantes.

Tenga en cuenta que usando Mathematica y escribiendo:

  FullSimplify [DSolve [z (1 - z) y '' [z] + ((a + b + 1 - c) - (a + b + 1) z) y '[z]
  - aby [z] == 0, y [z], z]]

Se obtienen las mismas soluciones, pero Mathematica expresa la segunda solución como:

[matemáticas] D * (-1) ^ {- a-b + c} z ^ {- a-b + c} \, _2F_1 (ca, cb; -a-b + c + 1; z) [/ matemáticas ]

Si volvemos a la variable [math] x [/ math], obtenemos una solución de la forma:

[matemáticas] \ displaystyle {C * \, _2F_1 (a, b; a + b-c + 1; 1-x) \\ + D (1-x) ^ {- a-b + c} \, _2F_1 ( ca, cb; -a-b + c + 1; 1-x)} [/ math]

Para obtener más detalles sobre cómo resolver la ecuación diferencial hipergeométrica, consulte, por ejemplo, el siguiente enlace:

Solución de Frobenius a la ecuación hipergeométrica – Wikipedia