¿Por qué el diferencial y la integral de [math] e ^ x [/ math] es lo mismo que la función misma? ¿Qué tiene de especial esto?

Answer 1

Para proporcionar una explicación alternativa para e ^ x y diferenciación, consideremos los primeros principios de diferenciación (encontrar la pendiente de una función en un punto dado) dada la siguiente notación:

Entonces podemos calcular la pendiente como

En diferenciación, queremos que Delta x sea pequeño, muy pequeño. Por lo tanto, al observar los “límites” (editar: como se menciona en los comentarios, “el resultado límite se debe a la regla de L’Hopital (regla de L’Hôpital – Wikipedia)”) obtenemos lo siguiente

Answer 2

Una definición de la función exponencial [matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas] es en realidad que es la función la que es su propia derivada.

Si [math] \ frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x [/ math], puede integrar ambos lados con respecto a x para obtener

[matemáticas] \ int \ frac {d} {dx} e ^ x \, dx = \ int e ^ x \, dx [/ matemáticas].

El teorema fundamental del cálculo dice que la integración deshace la diferenciación, por lo que el lado izquierdo simplemente se convierte en [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] (más alguna constante).

[matemáticas] e ^ x + C = \ int e ^ x \, dx [/ matemáticas]

Tenemos que la integral de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] también es [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas].

¡Feliz integración!

Answer 3

Hay dos formas de entender que la diferencia y la integral de e ^ x es la misma.

Forma teórica: sabemos que la expansión de e ^ x es: 1 + x + (x ^ 2/2!) + (X ^ 3/3!) +… ..

Ahora diferente entre ambos lados wrt x:

d (e ^ x) / dx = 0 + 1 + 2x / 2! + 3x ^ 2/3! + … que es lo mismo que la expansión de e ^ x es decir 1 + x + (x ^ 2/2!) + (x ^ 3/3!) +… ..

Ahora integrando ambos lados wrt x:

intg (e ^ x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 • 2! + … que es casi lo mismo que la expansión de e ^ x ya que la expansión tiende al infinito.

Por lo tanto, está probado.

Forma gráfica: considere la gráfica de e ^ x

La gráfica de e ^ x representa la variación de pendientes con diferentes valores de x. Podemos ver que en el punto x = 0, la pendiente de la curva ied / dx es 1 (se puede ver usando un protector). De manera similar en x = 1, la pendiente es ‘2.72’, que es casi ‘e’; en x = 2, la pendiente es 7.39, es decir, ‘e ^ 2’ y así sucesivamente …

Por lo tanto, vemos que la pendiente de la curva e ^ x está cambiando a una velocidad de e ^ x en un punto x. Por lo tanto, su diferenciación es la misma.

Ahora hablaremos sobre la integral de e ^ x. Pero una integral simple no tiene ningún significado físico. Sin embargo, la integral definida, es decir, la integración que toma límites, significa área bajo la curva. Y si integramos e ^ x bajo algunos límites, por ejemplo:

Integrar e ^ x de 1 a 2 es ~ 4.67 (calculado usando la calculadora gráfica Wolfram) que no es más que e ^ 2 – e. Del mismo modo, la integración de 1 a 3 es e ^ 3 – e … y así sucesivamente, es decir, en general e ^ (límite superior) – e ^ (límite inferior). Es posible solo si la integración de e ^ x es la misma e ^ x. Piensa en ello.