¿Cuáles son los valores de [matemáticas] a [/ matemáticas] dado que [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2 + hacha + 2 [ /matemáticas]?

Answer 1

* A2A

¿Por qué me preguntas algo cuando ya tiene 6 respuestas? Contestaré esta solo para apoyar las otras respuestas correctas.

Método 1: Teorema restante

[matemáticas] \ begin {align} P (x) & = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2 + ax + 2 \\ (x ^ 2 + 1) & \ text {es un factor, entonces} x ^ 2 = -1 \\ P (x ^ 2 + 1) & = 0 \\ 0 & = (- 1) ^ 2-3x \ cdot (-1) +3 (-1) + ax + 2 \\ 0 & = 1 + 3x-3 + ax + 2 \\ 0 & = (a + 3) x \\\ text {Comparando} & \ text {coeficientes …} \\ a + 3 & = 0 \\ a & = – 3 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Método 2: Teorema restante (enfoque casi similar, pero diferente)

[matemáticas] \ begin {align} P (x) & = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2 + ax + 2 \\ (x ^ 2 + 1) & \ text {es un factor, entonces} x = \ pm i \\ P (i) & = 0 \\ 0 & = i ^ 4-3i ^ 3 + 3i ^ 2 + ai + 2 \\ 0 & = 1 + 3i-3 + ai + 2 \\ 0 & = (a +3) i \\\ text {Comparando} & \ text {partes reales e imaginarias …} \\ a + 3 & = 0 \\ a & = – 3 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Método 3: Volvamos a la escuela, el enfoque de división larga.

[matemáticas] \ begin {align} P (x) & = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2 + ax + 2 \\\ text {By} & \ text {división larga / factoring} \\ P (x ) & = x ^ 4 + x ^ 2-3x ^ 3-3x + 2x ^ 2 + 3x + ax + 2 \\ & = x ^ 2 (x ^ 2 + 1) -3x (x ^ 2 + 1) + 2 (x ^ 2 + 1) + (a + 3) x \\ P (x) & \ equiv (a + 3) x \ mod (x ^ 2 + 1) \\\ text {Porque} & (x ^ 2 + 1) \ text {es un factor} \\ (a + 3) x & = 0 \ text {pero} x \ neq 0 \\\ text {Por lo tanto} \\ a + 3 & = 0 \ implica \ boxed {a = -3} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Lo sentimos, HostMath no es compatible con el paquete \polynom , de lo contrario habría utilizado el comando \polylongdiv . Pero supongo que ser incapaz de hacerlo me hizo aplicar el enfoque que hice.

Answer 2

Divida [matemáticas] x ^ 4–3x ^ 3 + 3x ^ 2 + hacha + 2 [/ matemáticas] entre [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. El resto debe ser cero. Si no me he equivocado, el resto es [matemática] (a + 3) x [/ matemática]. Para que esto sea cero por cada [matemática] x [/ matemática], [matemática] a = -3 [/ matemática].

Answer 3

Esto parece una pregunta de teorema de factores. Ya sabes, [matemáticas] xa [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] iff [matemáticas] f (a) = 0. [/ Matemáticas] Sería bueno si pudiéramos hacer eso trabajo, pero no sé qué matemáticas sabes. Mis mejores deseos serían si usted conoce el número imaginario y [matemática] i. [/ Matemática] Si es así, cuando [matemática] x ^ 2 + 1 [/ matemática] es un factor, entonces también lo es [matemática] xi. [ / math] Intentemos conectar [math] i [/ math] para [math] x [/ math] y exigir que la respuesta sea [math] 0. [/ math] Obtenemos

[matemáticas] i ^ 4-3i ^ 3 + 3i ^ 2 + ai + 2 = 0. [/ matemáticas]

Para hacer la vida más fácil, tenga en cuenta que [matemáticas] i ^ 2 = -1, [/ matemáticas] [matemáticas] i ^ 3 = -i [/ matemáticas] y [matemáticas] i ^ 4 = 1. [/ Matemáticas] Aquí tenemos ir,

[matemática] 1 + 3i-3 + ai + 2 = 0 [/ matemática] de la cual [matemática] 3i + ai = 0 [/ matemática] y así [matemática] i [/ matemática] debe ser [matemática] -3. [/matemáticas]

Entonces, ¿qué pasaría si no supieras sobre [matemáticas] i. [/ Matemáticas] Quizás aún podamos hacer que funcione. Reemplace cada [matemática] x ^ 2 [/ matemática] con [matemática] -1 [/ matemática] y mantenga los dedos cruzados. Entonces

[matemáticas] 1-3 (-1) x-3 + hacha + 2 = 0 [/ matemáticas]. Ahora, he aquí, [matemáticas] a = -3 [/ matemáticas] nuevamente. Tenga una buena noche.