¿Por qué la serie de Exp (x), sin (x) y cos (x) de Taylor (McLaurin) es verdadera para cada x real, y no solo para x = 0? Educación te da un futuro mejor

Esto se debe principalmente a que una serie de Maclaurin o Taylor converge a la función con un radio de convergencia infinito.

Así como las sumas infinitas pueden converger a un valor dado, las sumas infinitas que involucran potencias de [math] x [/ math] pueden converger a una función dada. Aquí hay un buen ejemplo visual de esto:

En esta imagen, la curva roja es la que intentamos aproximar usando una serie de Taylor. Cada curva negra es una aproximación cada vez más cercana a la curva roja, y logramos esta precisión al agregar más términos a nuestra serie Taylor. Cuando tenemos una cantidad infinita de términos, la serie de Taylor de cualquier función que tenga la curva roja (parece ser senoidal) converge a la curva roja.

Ahora que hemos cubierto lo que significa que una serie infinita converja a una función, hablemos del radio de convergencia.

Considera la serie geométrica

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ n = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4… [/ matemáticas]

Esta serie tiene una bonita expresión de forma cerrada de

[matemáticas] \ dfrac {1} {1-x} [/ matemáticas]

Sin embargo, esta serie solo converge para [matemática] x [/ matemática] entre [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática], o [matemática] -1 <x <1 [/ matemática]. Este es un buen ejemplo de un polinomio infinito que no converge para todos los valores de [math] x [/ math], solo los valores de [math] x [/ math] dentro de cierto intervalo. Una manera fácil de entender esto es porque cualquier número en ese intervalo, cuando se eleva a cierta potencia, se hará más pequeño, por lo que cuando agrega potencias sucesivamente más grandes de ese número, obtiene términos que se hacen cada vez más pequeños, y su serie eventualmente converge No se puede decir lo mismo para el número 2, por ejemplo, porque los poderes de 2 se hacen más grandes cuando se aumenta el poder.

En el caso de [math] \ sin (x) [/ math], [math] \ cos (x) [/ math] y [math] e ^ x [/ math], convergen en un radio de convergencia infinito, entonces, para cada valor en el dominio de estas funciones (todos los números reales), su serie Taylor converge. No es difícil ver por qué. Si pensamos en la serie de Taylor de estas funciones como series geométricas simples con coeficientes, podemos ver que los coeficientes se hacen cada vez más pequeños a medida que avanzas en la serie. Por ejemplo, [math] e ^ x [/ math] se puede representar como

[matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ n} {n!} [/ math]

No importa qué valor de [matemática] x [/ matemática] elija, ya que [matemática] n! [/ Matemática] crece mucho más rápido que [matemática] x ^ n [/ matemática], siempre obtendrá términos que son sucesivamente más pequeños y más pequeños a medida que [math] n [/ math] va al infinito, por lo que la serie converge sin importar el valor de [math] x [/ math].

Una cosa para mencionar es que puede estar confundiendo una serie de Mclaurin con una serie de potencia evaluada en [math] x = 0 [/ math]. Una serie de Maclaurin es simplemente una serie de Taylor centrada en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], que es una noción abstracta que a veces puede ser confusa. No significa que esté evaluando la serie en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], o que la serie de Taylor solo “funciona” en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], solo está usando como punto de partida para construir aproximaciones sucesivas de su función. Cuando centras una serie de potencia en un punto determinado, como [matemática] x = 0 [/ matemática], estás construyendo esa serie alrededor de ese punto.

Por ejemplo, en la imagen de arriba, las aproximaciones sucesivamente más cercanas de la curva roja se aproximaban muy bien a la curva roja en [matemática] x = 0 [/ matemática], pero a medida que te alejas de ese punto, las aproximaciones comenzaron a aumentar. menos precisa. Puede centrar una serie de Taylor alrededor de cualquier punto que desee, y los primeros términos de esa serie se aproximarían muy bien a su función en ese punto y serían menos precisos a medida que se aleje de ese punto. Sin embargo, en última instancia, si la serie de Taylor converge a la función en todo su dominio, para todos los valores reales de [matemática] x [/ matemática], no importa en qué punto elija centrarla. Todavía convergerá, porque el radio de convergencia sigue siendo infinito.

Esto plantea una pregunta interesante: ¿por qué no centramos todas las series de Taylor en cero? Para emprendimientos puramente matemáticos, eso es lo que harías el 99% del tiempo, suponiendo que estés tratando con una función cuya serie Taylor tiene un radio de convergencia infinito. Sin embargo, si se trata de algo así como la serie geométrica, puede centrar su serie Taylor en un punto diferente para cambiar su radio de convergencia, por ejemplo, si la centró en [matemática] x = 6 [/ matemática] , entonces su intervalo de convergencia sería [matemática] 5 <x <7 [/ matemática]. Esto puede ser útil en algunos aspectos, pero tal vez la razón principal por la que desee centrar una serie Taylor en un punto diferente es cuando está utilizando la serie Taylor para aproximar realmente una función, que generalmente es lo que hacen los ingenieros.

Digamos que desea aproximar el valor de [math] \ sin (x) [/ math] para un intervalo relativamente pequeño (tal vez tenga algún tipo de articulación robótica que solo se mueva 10 grados en cualquier dirección), como por ejemplo desde [ matemáticas] 40 ° <x <60 ° [/ matemáticas]. Si usó los primeros 3 términos de la serie Taylor de [math] \ sin (x) [/ math] centrado en [math] x = 0 [/ math], no sería tan preciso, pero podría hacerlo mucho más preciso al centrarlo en el centro de su intervalo, [matemáticas] x = 50 ° [/ matemáticas]. Luego, los cambios posteriores en el ángulo serían mucho más precisos y seguirían un comportamiento más regular que podría ser más fácil de calcular para las computadoras.