¿Cómo puedo encontrar la derivada de y, con respecto a x en la ecuación [matemáticas] y ^ {n} \ veces x ^ {m} = (x + y) ^ {m + n} [/ matemáticas]?

Answer 1

Considerar:

[math] \ large \ displaystyle y ^ n \ times x ^ m = \ large \ displaystyle (x + y) ^ {m + n} [/ math]

Diferenciar con respecto a [math] \ large \ displaystyle x [/ math] usando la regla del producto y la regla de la cadena

[matemáticas] \ implica \ displaystyle y ^ n \ frac {d} {dx} (x ^ m) + x ^ m \ frac {d} {dx} (y ^ n) = \ displaystyle \ frac {d} {dx } ((x + y) ^ {m + n}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle my ^ nx ^ {m – 1} + nx ^ my ^ {n – 1} \ frac {dy} {dx} = \ displaystyle (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} \ left (1 + \ frac {dy} {dx} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle my ^ nx ^ {m – 1} + nx ^ my ^ {n – 1} \ frac {dy} {dx} = \ displaystyle (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} + (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle nx ^ my ^ {n – 1} \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) – (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) = \ displaystyle (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} – my ^ nx ^ {m – 1} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) (nx ^ my ^ {n – 1} – (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} ) = \ displaystyle (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} – my ^ nx ^ {m – 1} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ large \ displaystyle \ boxed {\ boxed {\ frac {dy} {dx} = \ large \ displaystyle \ frac {(m + n) (x + y) ^ {m + n – 1} – my ^ nx ^ {m – 1}} {nx ^ my ^ {n – 1} – (m + n) (x + y) ^ {m + n – 1}}}} [/ math]

[matemática] {\ enorme {\ enorme {\ displaystyle \ ddot \ smile}}} [/ matemática]

Answer 2