¿Existe una notación para la composición repetida de una función consigo misma, por ejemplo, algo como: [matemáticas] (f \ circ f \ circ f) (x) = f_3 (x) [/ math]?

Answer 1

Sí, este es el exponente funcional de una función.

Dada una función con el mismo dominio y codominio

[matemáticas] f: X \ flecha derecha X [/ matemáticas]

[matemáticas] f ^ n: = f \ circ f \ circ… \ circ f [/ math]

Observe que la inversa de una función es, precisamente, la función que cuando se compone con ella la ‘deshace’, dejando la función de identidad

[matemáticas] (f ^ {- 1} \ circ f) (x) = f ^ 0 (x) = x [/ matemáticas]

Una raíz funcional de una función es aquella que, cuando se compone consigo misma un cierto número de veces, le da a nuestra función designada.

[matemáticas] (f ^ {\ frac {1} {3}}) ^ 3 = (f ^ {\ frac {1} {3}}) \ circ (f ^ {\ frac {1} {3}}) \ circ (f ^ {\ frac {1} {3}}) = f [/ matemáticas]

Debido a algunas convenciones en trigonometría, hay algún conflicto, por ejemplo, cuando escribimos [matemáticas] \ cos ^ 2 (x) [/ matemáticas] realmente queremos decir [matemáticas] (\ cos (x)) ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces el contexto es clave. Sé que algunos matemáticos, como Charles Babbage, uno de los inventores de la computadora, odiaron este desajuste.

Answer 2

Usualmente usas superíndice; [matemáticas] f ^ 2 (x) = (f \ circ f) (x) [/ matemáticas], y así sucesivamente. (Y [matemáticas] f ^ {- 2} (x) = (f ^ {- 1} \ circ f ^ {- 1}) (x) [/ matemáticas].)

Sin embargo, a veces puede confundirse con exponenciación; el ejemplo común es que [math] \ sin ^ 2 x [/ math] debe interpretarse como [math] (\ sin x) ^ 2 [/ math], no [math] \ sin (\ sin x) [/ matemáticas]. En ese caso, especifique mejor cuál es su convención, o busque en alguna parte lo que la convención usó en su libro / artículo / lo que sea.

Algunas personas usan [matemáticas] f ^ {(2)} (x) [/ matemáticas] para [matemáticas] (f \ circ f) (x) [/ matemáticas], si [matemáticas] f ^ 2 (x) [/ math] se toma como [math] (f (x)) ^ 2 [/ math]. Pero entonces [math] f ^ {(2)} (x) [/ math] podría confundirse con la diferenciación dos veces; algunas personas toman [matemáticas] f ^ {(2)} (x) = \ frac {d} {dx} \ frac {d} {dx} f (x) [/ matemáticas]. Nuevamente, busque qué convención se está utilizando.

Answer 3

Odio tener el mismo símbolo para diferentes significados, especialmente cuando enseño a estudiantes que no están matriculados en una licenciatura en matemáticas. Decirles que el significado de algo depende del contexto no está en sintonía con mi comprensión de lo que deberían ser las matemáticas (o cómo deberían enseñarse).

Deje que [math] n [/ math] sea un número entero positivo, y [math] A [/ math] un conjunto. Considere la función [matemáticas] f [/ matemáticas] definir como
[matemáticas] \ begin {align *} f: A & \ rightarrow A \\ x & \ mapsto f (x). \ end {align *} [/ math]

Defino la función [matemáticas] f ^ {\ circ n} [/ matemáticas] como

[matemáticas] \ begin {align *}
f ^ {\ circ n}: A & \ rightarrow A \\
x & \ mapsto (\ underbrace {f \ circ f \ circ \ ldots \ circ f} _ {n ~ \ textrm {veces}}) (x).
\ end {align *} [/ math]

Escribir [math] \ sin ^ {- 1} x [/ math] para representar la función inversa de [math] \ sin x [/ math] debería ser un pecado. Siempre uso [math] \ arcsin x. [/ Math]

Utilizo [math] f ^ {3} [/ math] para representar el producto [math] f \ times f \ times f [/ math], y [math] f ^ {(3)} [/ math] para representar la tercera derivada de [math] f [/ math].