¡Cómo podemos resolver (p-1)! = P- (2!) + (P-3)! para primer p?

Answer 1

Asumiré que [matemáticas] p – 2! [/ Matemáticas] debería haber sido [matemáticas] (p – 2)! [/ Matemáticas]

Si mi holgazanería habitual tiene problemas, puedo volver a visitar la pregunta tal como está escrita.

Ignore la “prima [matemáticas] p [/ matemáticas]” por el momento. No puede haber muchas soluciones de todos modos.

Dividir entre [matemáticas] (p – 3)! [/ Matemáticas] (suponiendo por el momento que está definido y no cero).

[matemáticas] (p-1) (p-2) = (p-2) + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 – 4p + 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (p – 3) (p – 1) = 0 [/ matemáticas]

Claramente, la única solución principal es [matemática] p = 3 [/ matemática]

¿Qué pasa con [matemáticas] p = 1 [/ matemáticas]?

Esto incumple el requisito “no definido”.

¿Podemos tener [matemáticas] (p – 3)! = 0 [/ matemáticas]? ¡No!

Entonces, la única solución es [matemática] p = 3 [/ matemática], y 3 es de hecho primo.

Ahora como está escrito realmente:

[matemáticas] (p – 1)! = p – 2! + (p – 3)! [/ matemáticas]

Al igual que antes:

[matemáticas] ((p – 1) (p – 2) – 1) (p – 3)! = p – 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (p ^ 2 – 3p + 1) (p – 3)! = (p – 2) [/ matemáticas]

Solo consideraré los valores integrales de [math] p [/ math]. Esta es una suposición natural si vamos a considerar primo [math] p [/ math] más adelante, aunque puede haber soluciones para valores peculiares de [math] p [/ math] usando la función Gamma. Seguramente queremos que se defina [math] (p – 3)! [/ Math], entonces [math] p \ geq 3 [/ math].

Ahora [matemáticas] (p – 3)! \ geq 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 2 – 3p + 1 \ leq p – 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (p – 2) (p – 1) \ leq p – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] p – 2 \ leq 1 [/ matemáticas]

En este punto, [matemática] p = 3 [/ matemática] es la única posibilidad que queda, y de hecho [matemática] (p – 2). = p – 2! [/ math], entonces la solución es la misma.

Answer 2

Se supone que la ecuación dada es [matemática] \; \; (p-1)! \; = \; (P-2)! \; + \; (P-3)! \; [/ Math]

donde [math] \; p \; [/ math] es primo [math] \;> 2 \ ;. [/matemáticas]

Dividiendo por [matemáticas] \; (p-3)! \; [/ Matemáticas] obtenemos,

[matemáticas] \; (p-1) (p-2) = p-2 + 1 \; [/ matemáticas]

que es equivalente a la ecuación cuadrática

[matemáticas] \; p ^ {2} – 4p + 3 = 0 \; [/ matemáticas]

es decir, [matemáticas] \; \; (p-3) (p-1) = 0 \; [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \; p = 3 \ ;. [/ matemáticas]

Answer 3

(p − 1)! = (p − 2)! + (p − 3)!

wherep es primo> 2.

Dividiendo por (p − 3)! Obtenemos,

(p − 1) (p − 2) = p − 2 + 1

ecuación cuadrática

p ^ 2−4p + 3 = 0

(p − 3) (p − 1) = 0

p = 3.