Si [matemáticas] R (x) [/ matemáticas] tiene un grado [matemáticas] 3 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] P (x) R (x) [/ matemáticas] debe tener un grado [matemáticas] 3 + 3 = 6 [/matemáticas].
Para que [math] P (Q (x)) [/ math] tenga un grado [math] 6 [/ math], [math] Q (x) [/ math] debe tener un grado [math] 2 [/ math].
Primero, echemos un vistazo a las raíces de [matemáticas] P [/ matemáticas]. Como obtenemos el polinomio en forma factorizada, es fácil ver que las raíces son [matemáticas] 3, 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. Estas también serán raíces de [matemáticas] P (x) R (x) [/ matemáticas], por lo que también deben ser raíces de [matemáticas] P (Q (x)) [/ matemáticas]. [matemática] P (Q (x)) [/ matemática] solo puede ser cero si [matemática] Q (x) \ in \ {3,4,5 \} [/ matemática]. Entonces, [matemática] Q [/ matemática] debe mapear los tres valores [matemática] 3,4,5 [/ matemática] a [matemática] 3,4,5 [/ matemática]. Hay 27 asignaciones de este tipo, y cada una especifica 3 pares [matemática] (x, Q (x)) [/ matemática], dando un polinomio único [matemática] Q (x) [/ matemática] (recuerde que 3 puntos especifican exactamente 1 polinomio de grado 2 o inferior).
[Editado siguiendo el excelente comentario de Alon Amit:]
- ¿Cómo puedo encontrar la derivada de y, con respecto a x en la ecuación [matemáticas] y ^ {n} \ veces x ^ {m} = (x + y) ^ {m + n} [/ matemáticas]?
- ¿Por qué la serie de Exp (x), sin (x) y cos (x) de Taylor (McLaurin) es verdadera para cada x real, y no solo para x = 0?
- ¿Cuáles son los valores de [matemáticas] a [/ matemáticas] dado que [matemáticas] x ^ 2 + 1 [/ matemáticas] es un factor de [matemáticas] x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2 + hacha + 2 [ /matemáticas]?
- ¿Cómo muestra que la función hipergeométrica [matemática] (1-x) ^ {cab} [/ matemática] [matemática] F (ca, cb; c; x) [/ matemática] también es una solución de [matemática] x (1-x) y ” + \ {c- (a + b + 1) x \} y’-aby = 0 [/ matemática]?
- ¿Por qué el diferencial y la integral de [math] e ^ x [/ math] es lo mismo que la función misma? ¿Qué tiene de especial esto?
Ahora comprobaremos si cada una de esas [matemáticas] Q (x) [/ matemáticas] proporciona una [matemáticas] R (x) [/ matemáticas] apropiada.
Si [matemática] Q (x) [/ matemática] es un polinomio de grado [matemática] 2 [/ matemática], entonces [matemática] P (Q (x)) [/ matemática] será de grado [matemática] 6 [/ math] y tener [math] 3,4 [/ math] y [math] 5 [/ math] como raíces, lo que significa que debe existir algún polinomio [math] R (x) [/ math] de grado [math] ] 3 [/ matemáticas].
Sin embargo, si [matemática] Q (x) [/ matemática] es de menor grado (lineal o constante), entonces [matemática] P (Q (x)) [/ matemática] tendrá un grado de solo [matemática] 3 [ / math] o [math] 0 [/ math], lo que significa que [math] R (x) [/ math] sería un polinomio de grado [math] 1 [/ math] o simplemente el polinomio constante trivial [math] R (x) = 0 [/ matemáticas]. Como la pregunta especifica que [matemática] R (x) [/ matemática] debe tener un grado [matemática] 3 [/ matemática], debemos descontar esos casos.
[matemática] Q (x) [/ matemática] puede ser una constante con valores posibles [matemática] 3,4 [/ matemática] y [matemática] 5 [/ matemática], y hay [matemática] 2 [/ matemática] lineal posibilidades para [matemática] Q (x) [/ matemática]: [matemática] Q (x) = x [/ matemática] y [matemática] Q (x) = 8-x [/ matemática] (puede verificar fácilmente que todo de estos mapean el conjunto [math] \ {3,4,5 \} [/ math] a elementos de [math] \ {3,4,5 \} [/ math].
Entonces, si solo estamos interesados en [matemática] R (x) [/ matemática] que es de grado exactamente 3 y no inferior, solo hay [matemática] 22 [/ matemática] polinomios posibles [matemática] Q (x) [ /matemáticas].