Es cierto que [math] x = \ sqrt [3] {2} [/ math] es una de las soluciones. Sin embargo, es importante reconocer que no es el único: debido a que el polinomio [matemático] x ^ 3 – 2 [/ matemático] está en tercer grado y tiene coeficientes reales, el Teorema fundamental del álgebra garantiza que habrá exactamente tres raíces complejas.
¿Cómo los encontraste? Al factorizar usando la fórmula de diferencia de cubos, indicando:
[matemáticas] x ^ 3 – y ^ 3 = (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) [/ matemáticas].
Puede no ser inmediatamente obvio cómo [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es un cubo; sin embargo, [matemáticas] 2 = (\ sqrt [3] {2}) ^ 3 [/ matemáticas]. Esta sustitución nos permitirá resolver la ecuación.
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[matemáticas] x ^ 3 = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 3 – 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 3 – (\ sqrt [3] {2}) ^ 3 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x – \ sqrt [3] {2}) (x ^ 2 + x \ sqrt [3] {2} + \ sqrt [3] {4}) = 0 [/ matemáticas]
Usando la propiedad del producto cero, podemos decir que [math] x – \ sqrt [3] {2} = 0 [/ math] o [math] x ^ 2 + x \ sqrt [3] {2} + \ sqrt [ 3] {4} = 0 [/ matemáticas]
La segunda ecuación se puede resolver mediante la fórmula cuadrática:
[matemáticas] x = \ frac {- \ sqrt [3] {2} \ pm \ sqrt {\ sqrt [3] {4} – 4 (1) (\ sqrt [3] {4})}} {2} [/matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {- \ sqrt [3] {2} \ pm i \ sqrt {3 \ sqrt [3] {4}}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {- \ sqrt [3] {2} \ pm i \ sqrt [3] {2} \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]
La solución a la primera ecuación es claramente [matemáticas] x = \ sqrt [3] {2} [/ matemáticas].