Respuesta corta: hay dos soluciones:
- [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]
- [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] para [matemática] x <0 [/ matemática] y [matemática] f (x) = x ^ {\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} } [/ math] para [math] x \ geq 0 [/ math]
No existen otras soluciones.
Se sabe que [matemáticas] f (f (x)) = xf (x) [/ matemáticas]. Recopilar información debe reducir la búsqueda de [math] f [/ math].
Suponga que [matemáticas] f (a) = f (b) [/ matemáticas]. Entonces, [matemática] f (f (a)) = af (a) [/ matemática] y [matemática] f (f (b)) = bf (b) [/ matemática], pero eso significa que [matemática] f (f (a)) = af (a) [/ math] y [math] f (f (a)) = bf (a) [/ math]. Eso significa que [math] af (a) = bf (a) [/ math]. Por lo tanto, [matemática] a = b [/ matemática] o [matemática] f (a) = f (b) = 0 [/ matemática].
Solo los múltiples ceros posibles de [math] f [/ math] evitan que [math] f [/ math] sea uno a uno. Si [math] f [/ math] tiene dos ceros, [math] a [/ math] y [math] b [/ math], entonces, para todos [math] c [/ math] entre [math] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], [matemática] f [/ matemática] también es cero, porque, si no, entonces en algún punto entre [matemática] a [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática ], [math] f [/ math] toma el valor [math] \ frac {f (c)} {2} [/ math], al igual que [math] f [/ math] en algún punto entre [math] c [/ math] y [math] b [/ math], lo cual es imposible.
La región, en la que [math] f (x) = 0 [/ math] debe ser un intervalo (o quizás un solo punto o el conjunto vacío): tome el infimum [math] I [/ math] y el supremum [math ] S [/ math] del conjunto de todos los ceros de [math] f [/ math] (incluso si uno de ellos es infinito), y si hay [math] x [/ math] entre [math] I [/ math ] y [matemática] S [/ matemática] no es un cero de [matemática] f [/ matemática], entonces hay un cero [matemática] z_l [/ matemática] de [matemática] f [/ matemática] con [matemática] I \ leq z_l
Por continuidad de [math] f [/ math], los ceros de [math] f [/ math] incluyen tanto [math] I [/ math] como [math] S [/ math], excepto si uno de ellos es infinito . Por lo tanto, el conjunto de ceros de [math] f [/ math] es un intervalo cerrado en cualquier punto final que tenga. Llámalo un intervalo cerrado para abreviar.
Por lo tanto, [math] f [/ math] es casi uno a uno: la única excepción es que un intervalo cerrado de valores de [math] x [/ math] puede tener [math] f (x) = 0 [/ matemáticas]. Deje que [math] z_l [/ math] sea el punto final inferior de este intervalo, y [math] z_h [/ math] sea el punto final superior de este intervalo, incluso si cualquiera es infinito. Déjelos sin definir si [math] f [/ math] no tiene ceros.
Una función uno a uno de [math] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math] está aumentando o disminuyendo estrictamente. Esta [matemática] f [/ matemática] podría no ser uno a uno, pero, para [matemática] x \ geq z_h [/ matemática] lo es, por lo que aumenta o disminuye estrictamente allí. De manera similar, [math] f [/ math] está estrictamente aumentando o disminuyendo estrictamente para [math] x \ leq z_l [/ math]. (Es posible que estas regiones no existan en absoluto; si [math] f [/ math] no tiene ceros, entonces [math] f [/ math] es uno a uno y, por lo tanto, aumenta o disminuye estrictamente en todos [math] \ mathbb {R} [/ math].) De hecho, si existen ambos intervalos, entonces la dirección de [math] f [/ math] en ambos debe ser la misma; de lo contrario, [math] f [/ math] alcanza un valor distinto de [math] 0 [/ math] más de una vez. Por lo tanto, hay hasta tres regiones, con cada par de regiones adyacentes superpuestas en un punto, y la dirección de [math] f [/ math] es la misma en todas ellas, contando una constante como creciente y decreciente. Por lo tanto, [math] f [/ math] está aumentando o disminuyendo en todos [math] \ mathbb {R} [/ math]. La única excepción posible a la rigidez es el intervalo de ceros.
Diga [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] f (f (1)) = 1f (1) = f (1) [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] f (f (1)) = f (1) [/ matemáticas]. Eso significa que [matemáticas] f (1) = 1 [/ matemáticas], o bien que [matemáticas] f (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (f (1)) [/ matemáticas] son ambas cero.
Suponga que [math] f (1) [/ math] y [math] f (f (1)) [/ math] son ambos cero. Entonces, [matemática] f (0) = f (1) = 0 [/ matemática], entonces [matemática] f (x) [/ matemática] es cero para todos [matemática] x [/ matemática] con [matemática] 0 \ leq x \ leq 1 [/ math]. Esto prohíbe que [math] f [/ math] sea positivo en cualquier lugar: de lo contrario, para algunos [math] x [/ math], hay un positivo [math] \ epsilon [/ math] menor que [math] 1 [/ math ], tal que [matemáticas] f (x) = \ epsilon [/ matemáticas] (por el Teorema del valor intermedio), y para que [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] f (f (x)) = f (\ epsilon) = 0 [/ math], pero [math] xf (x) = x \ epsilon \ neq 0 [/ math], porque [math] x [/ math] no puede ser [math] 0 [/ math ], como [matemáticas] f (0) = 0 \ neq \ epsilon [/ matemáticas]. Eso significa que en ambos lados del intervalo de ceros, [math] f [/ math] no es positivo. Si realmente hay dos lados, entonces [matemática] f [/ matemática] es negativa en ambos, y eso es imposible por la mono-direccionalidad de [matemática] f [/ matemática]. Si solo hay un lado izquierdo, entonces, para cualquier [matemática] x [/ matemática] negativa que esté más allá del intervalo de ceros, [matemática] f (f (x)) <0 [/ matemática], pero [matemática] xf (x) \ geq 0 [/ math] porque tanto [math] x [/ math] como [math] f (x) [/ math] no son positivas. Si solo hay un lado derecho, entonces hay una [matemática] x [/ matemática] más allá del intervalo de ceros, para lo cual [matemática] 0
Por lo tanto, a excepción de la solución [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], [matemática] f (1) = 1 [/ matemática]. Ahora, suponga que [math] f (x) = 0 [/ math] en alguna parte. En tal [matemática] x [/ matemática], [matemática] f (f (x)) = f (0) [/ matemática], pero [matemática] xf (x) = 0x = 0 [/ matemática]. Por lo tanto, si [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] en cualquier lugar, entonces [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas]. Si [math] f (x) [/ math] nunca es [math] 0 [/ math], entonces [math] f (x) [/ math] siempre es positivo (porque [math] f (1) = 1 [ /matemáticas]). Sin embargo, eso significa que, para [matemática] x [/ matemática] negativa, [matemática] f (f (x))> 0 [/ matemática], pero [matemática] xf (x) <0 [/ matemática]. Esto no es posible. Por lo tanto, [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas].
[matemática] f (0) = 0 [/ matemática] y [matemática] f (1) = 1 [/ matemática] juntas aumentan la función. Por lo tanto, para negativo [matemática] x [/ matemática], [matemática] f [/ matemática] no es positiva. Ahora, para cualquier negativa [matemática] x [/ matemática], suponga que [matemática] f (x) [/ matemática] es negativa. Entonces, [math] f (f (x)) [/ math] no es positivo, pero [math] xf (x) [/ math] es positivo. Por lo tanto, si [math] x [/ math] es negativo, entonces [math] f (x) = 0 [/ math].
El intervalo de ceros no puede extenderse a positivo [matemático] x [/ matemático]. Si lo hiciera, entonces habría una [matemática] x [/ matemática] positiva más allá del intervalo de ceros, para lo cual [matemática] f (x) [/ matemática] es lo suficientemente pequeña como para que [matemática] f (f (x )) = 0 [/ matemática], pero para esto [matemática] x [/ matemática], [matemática] xf (x)> 0 [/ matemática]. Por lo tanto, para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], [matemáticas] f (x)> 0 [/ matemáticas].
Suponga que [matemáticas] 1 f (x) [/ matemáticas], lo cual es imposible. Del mismo modo, suponga que [matemáticas] x f (x) [/ matemáticas], pero [matemáticas] xf (x)
Ahora, inspirado por la solución [matemáticas] f (x) = x ^ {\ phi} [/ matemáticas] para [matemáticas] x \ geq 0 [/ matemáticas], deje que [matemáticas] f (x) = e ^ {g (\ ln (x))} [/ math], para convertir una pregunta sobre una función polinómica en una sobre una función lineal. Da:
[matemáticas] f (f (x)) = xf (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {g (\ ln (f (x)))} = xe ^ {g (\ ln (x))} [/ matemáticas]
[matemáticas] e ^ {g \ left (\ ln \ left (e ^ {g \ ln (x)} \ right) \ right)} = xe ^ {g (\ ln (x))} [/ math]
[matemáticas] e ^ {g \ left (g \ ln (x) \ right)} = xe ^ {g (\ ln (x))} [/ math]
[matemáticas] g \ left (g \ ln (x) \ right) = \ ln (x) + g (\ ln (x)) [/ math]
Ahora, si [matemáticas] x = e ^ y [/ matemáticas],
[matemáticas] g (g (y)) = y + g (y) [/ matemáticas]
Esto está sobre todos los números reales.
Como [math] f (1) = 1 [/ math], [math] e ^ {g (\ ln (1))} = 1 [/ math], entonces [math] g (0) = 0 [/ math ] Además, dado que [matemática] f [/ matemática] aumenta estrictamente para [matemática] x> 0 [/ matemática], [matemática] g [/ matemática] aumenta estrictamente para todos los números reales (como [matemática] g (x) = \ ln \ left (f \ left (e ^ x \ right) \ right) [/ math]).
Viniendo de la solución [math] f (x) = x ^ {\ phi} [/ math] (donde [math] \ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ math]) inspirado por la respuesta de Aman Karunakaran, [matemáticas] f (x) = e ^ {g (\ ln (x))} [/ matemáticas] implica:
[matemáticas] x ^ {\ phi} = e ^ {g (\ ln (x))} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ phi \ ln (x) = g (\ ln (x)) [/ matemáticas]
Por lo tanto, para todos los [matemáticos] y [/ matemáticos] reales, [matemáticos] g (y) = \ phi y [/ matemáticos].
La pregunta es si esta es la única solución. Puede sospecharse que no lo es, porque uno puede seleccionar [matemáticas] g [/ matemáticas] en algún intervalo como [matemáticas] 1 \ leq x \ leq \ phi [/ matemáticas], establecer [matemáticas] g (1) = \ phi [/ math], y luego use [math] g (g (x)) = g (x) + x [/ math] para completar todo. Esto funciona en la dirección hacia adelante; llena todo, desde [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] \ infty [/ matemáticas]. Sin embargo, surgen problemas cuando se intenta ejecutar esto al revés.
Sea [math] c [/ math] un número real y considere la secuencia [math] \ cdots, g ^ {- 3} (c), g ^ {- 2} (c), g ^ {- 1} (c), c, g (c), g ^ 2 (c), g ^ 3 (c), \ cdots [/ math], donde el poder en una función significa tomar esa función el número correspondiente de veces. Si la potencia es negativa, significa tomar la función inversa el número positivo correspondiente de veces. [math] g [/ math] es invertible, porque está aumentando estrictamente. Solo hay una forma de ejecutar la secuencia hacia atrás, ya que [math] g (g (y)) = y + g (y) [/ math] implica [math] g (y) = g ^ {- 1} (y ) + y [/ math], que proporciona exactamente una forma de encontrar [math] g ^ {- 1} (y) [/ math]. Como [math] g (g (y)) = y + g (y) [/ math], esto tiene que ser válido para [math] y = g ^ n (c) [/ math], independientemente de qué número entero [math ] n [/ math] es. Por lo tanto, [math] g ^ {n + 2} (c) = g ^ n (c) + g ^ {n + 1} (c) [/ math] para todos los enteros [math] n [/ math]. Por conveniencia, deje que [math] a_n = g ^ n (c) [/ math], entonces [math] a_ {n + 2} = a_n + a_ {n + 1} [/ math].
Esta es una ecuación diferencial discreta lineal, de coeficiente constante, homogénea de segundo orden, y se puede resolver con un análogo al método para resolver [matemática] n [/ matemática] lineal de orden constante, coeficiente constante, homogénea, ecuaciones diferenciales. Este método busca soluciones de crecimiento exponencial o de descomposición exponencial.
[matemáticas] a_ {n + 2} = a_n + a_ {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {n + 2} – a_ {n + 1} – a_n = 0 [/ matemáticas]
Establezca [matemáticas] a_n = p ^ n [/ matemáticas]. Esto da:
[matemáticas] p ^ {n + 2} – p ^ {n + 1} – p ^ n = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p ^ 2 – p – 1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] p = \ frac {1 \ pm \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
Eso le da a [math] a_n = \ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n [/ math] y [math] a_n = \ left (\ frac {1 – \ sqrt { 5}} {2} \ right) ^ n [/ math] como soluciones de la ecuación diferencial discreta. Esto puede verificarse sustituyéndolos nuevamente en la ecuación.
Como es el caso de ecuaciones diferenciales homogéneas, la suma de múltiplos constantes de dos soluciones también es una solución. Esto le da a [matemáticas] a_n = q_1 \ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n + q_2 \ left (\ frac {1 – \ sqrt {5}} {2} \ derecha) ^ n [/ math], donde [math] q_1 [/ math] y [math] q_2 [/ math] son constantes, como la solución general. Sin embargo, aquí se necesita una solución específica, porque se desea encontrar la secuencia en términos de [matemáticas] c [/ matemáticas] y [matemáticas] g (c) [/ matemáticas], que son [matemáticas] a_0 [/ matemáticas ] y [matemáticas] a_1 [/ matemáticas].
Sustituyendo [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] en [matemática] n [/ matemática] en [matemática] a_n = q_1 \ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2 } \ right) ^ n – q_2 \ left (\ frac {1 – \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n [/ math] le da al sistema:
[matemáticas] a_0 = q_1 + q_2 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_1 = q_1 \ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ right) – q_2 \ left (\ frac {1 – \ sqrt {5}} {2} \ right) [/ matemáticas]
La solución para este sistema es [matemáticas] q_1 = a_0 \ left (\ frac {\ sqrt {5} – 1} {2 \ sqrt {5}} \ right) + a_1 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {5}} \ right) [/ math] y [math] q_2 = a_0 \ left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2 \ sqrt {5}} \ right) – a_1 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {5}} \ right) [/ math]. Por lo tanto, la solución específica para la ecuación diferencial discreta es [matemática] a_n = q_1 \ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n – q_2 \ left (\ frac {1 – \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n [/ math], con los valores indicados de [math] q_1 [/ math] y [math] q_2 [/ math]. (Esto se puede verificar mediante la sustitución en la ecuación diferencial discreta, y calculando [math] a_0 [/ math] y [math] a_1 [/ math].) Esta es la única solución, porque en cada valor de [math] n [/ math], la ecuación diferencial discreta proporciona exactamente un valor posible de [math] a_n [/ math], obtenido de las dos entradas anteriores o siguientes de la secuencia.
Ahora, [matemáticas] a_n = q_1 \ left (\ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n – q_2 \ left (\ frac {1 – \ sqrt {5}} {2} \ derecha) ^ n [/ matemáticas]. Cuando [math] n [/ math] va a [math] – \ infty [/ math], el primer término se acerca a [math] 0 [/ math], entonces, a menos que [math] q_2 = 0 [/ math], el el segundo término domina y hace que esta secuencia alterne entre valores positivos grandes y valores negativos grandes. Esto es un problema, porque [math] g \ left (a_n \ right) = a_ {n + 1} [/ math], y esto significa que hay valores negativos de [math] y [/ math] con [math] g (y)> 0 [/ matemática], y valores positivos de [matemática] y [/ matemática] con [matemática] g (y) <0 [/ matemática], ambos no permitidos, porque causan [matemática] g [/ math] no debe ser estrictamente creciente.
¿Qué sucede si [matemática] q_2 = 0 [/ matemática]? Entonces, [matemáticas] q_2 = a_0 \ left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2 \ sqrt {5}} \ right) – a_1 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {5}} \ right) [/ math], entonces:
[matemáticas] 0 = a_0 \ left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2 \ sqrt {5}} \ right) – a_1 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {5}} \ right )[/matemáticas]
[matemáticas] a_0 \ left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2 \ sqrt {5}} \ right) = a_1 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {5}} \ right) [ /matemáticas]
[matemática] a_0 \ left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} \ right) = a_1 [/ math]
Esto significa que [matemáticas] \ left (\ frac {\ sqrt {5} + 1} {2} \ right) c = g (c) [/ math]. Esto significa que la solución [math] g (x) = \ phi x [/ math] es la única. [math] f (x) = x ^ {\ phi} [/ math] es el único y [math] f (x) [/ math] (para [math] x> 0 [/ math]) que da esto [matemática] g (x) [/ matemática], por lo que esta es la única solución con [matemática] f (1) = 1 [/ matemática].
Por lo tanto, solo hay dos soluciones:
- [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]
- [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] para [matemática] x <0 [/ matemática] y [matemática] f (x) = x ^ {\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} } [/ math] para [math] x \ geq 0 [/ math]