¿Cuál es la suma de los cuadrados de las raíces en la ecuación x ^ 2- [7x] + 5 = 0 donde [.] Representan la función entera más grande?

Answer 1

Gracias por el A2A.

Primero, encontremos las soluciones a las ecuaciones [matemáticas] x ^ 2-7x + 5 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2-7x + 6 = 0 [/ matemáticas] porque sabemos que [matemáticas] x ^ 2-7x + 5 \ leq x ^ 2- \ lfloor {7x \ rfloor} +5 <x ^ 2-7x + 6 [/ math].

Al resolver esas dos cuadráticas, vemos que [matemáticas] x = \ frac {7} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {29}} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 1, \, 6 [/ matemáticas], respectivamente.

Entonces vemos que deberíamos buscar soluciones tales como [matemáticas] x \ in \ left [\ frac {7- \ sqrt {29}} {2}, 1 \ right) \ cup \ left (6, \ frac { 7+ \ sqrt {29}} {2} \ right] [/ math].

Comencemos con el primer intervalo. Tomando los números de ambos extremos de nuestro intervalo, calculamos que [matemática] 7 \ cdot \ frac {7- \ sqrt {29}} {2} \ aprox 5.65 [/ matemática], y [matemática] 7 \ cdot 1 = 7 [/ matemáticas]. Entonces, los dos pisos posibles en este intervalo son [matemática] 5 [/ matemática] y [matemática] 6 [/ matemática]. Nos queda resolver [matemáticas] x ^ 2-5 + 5 = 0 \, \ longrightarrow \, x = 0 [/ matemáticas], que no está en nuestro intervalo, y [matemáticas] x ^ 2-6 + 5 = 0 \, \ longrightarrow \, x = 1 [/ math], que tampoco está en nuestro intervalo.

Ahora veamos el segundo intervalo. Tomando los números de ambos extremos de nuestro intervalo, calculamos que [matemáticas] 7 \ cdot 6 = 42 [/ matemáticas] y [matemáticas] 7 \ cdot \ frac {7+ \ sqrt {29}} {2} \ aprox. 43,35 [/ matemáticas]. Entonces, los dos pisos posibles en este intervalo son [matemática] 42 [/ matemática] y [matemática] 43 [/ matemática]. Nos queda resolver [matemáticas] x ^ 2-42 + 5 = 0 \, \ longrightarrow \, x = \ sqrt {37} [/ matemáticas], que está en nuestro intervalo, y [matemáticas] x ^ 2-43 + 5 = 0 \, \ longrightarrow \, x = \ sqrt {38} [/ math], que también está en nuestro intervalo.

Nuestras dos raíces son [matemáticas] x = \ sqrt {37}, \, \ sqrt {38} [/ matemáticas], por lo que la suma de los cuadrados de las raíces es [matemáticas] 37 + 38 = \ en caja {75} [ /matemáticas]

Answer 2

A2A

Primero, encontremos las raíces, que pueden escribirse como

[matemáticas] x = \ frac {n + y} {7} [/ matemáticas]

Donde [math] n [/ math] es un número entero y [math] 0

[matemáticas] 0 = \ left (\ frac {n + y} {7} \ right) ^ 2- \ left (n + 1 \ right) + 5 = \ left (\ frac {n + y} {7} \ derecha) ^ 2-n + 4 [/ matemáticas]

Resolviendo rendimientos [matemáticos] y [/ matemáticos]

[matemáticas] y = -n \ pm7 \ sqrt {n-4}) [/ matemáticas]

Como [math] y [/ math] es positivo, encontramos que

[matemáticas] y = -n + 7 \ sqrt {n-4} [/ matemáticas] (*)

Ahora, para reducir el rango de posibles [matemáticas] n [/ matemáticas], usamos [matemáticas] 0

[matemáticas] 0 <-n + 7 \ sqrt {n-4} \ rightarrow n <7 \ sqrt {n-4} \ rightarrow n ^ 2 <49 (n-4) [/ math]

Esta es una desigualdad simple que produce

[matemáticas] 4 <\ frac {7} {2} (7- \ sqrt {33})

Segundo

[matemáticas] 1> -n + 7 \ sqrt {n-4} \ rightarrow (n + 1) ^ 2> 49 (n-4) [/ matemáticas]

La solución a esta desigualdad es

[matemáticas] n <\ frac {47-7 \ sqrt {29}} {2} <5 [/ matemáticas]

O

[matemáticas] n> \ frac {47 + 7 \ sqrt {29}} {2}> 42 [/ matemáticas]

Por lo tanto, los únicos valores posibles de [math] n [/ math] son ​​43 y 44. Establecer estos valores en (*) produce

[matemáticas] y_ {43} = – 43 + 7 \ sqrt {39} \ aprox0.7 [/ matemáticas]

[matemáticas] y_ {44} = – 44 + 7 \ sqrt {40} \ aprox0.3 [/ matemáticas]

Una vez que conocemos las raíces, es fácil encontrar la suma de sus cuadrados.

[matemática] \ left (\ frac {43 + y_ {43}} {7} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {44 + y_ {44}} {7} \ right) ^ 2 = 39 + 40 = 79 [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] 7x \ le \ lceil 7x \ rceil <7x + 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] x ^ 2 – 7x + 4

Sus raíces son respectivamente

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {7 \ pm \ sqrt {33}} {2} \ qquad \ frac {7 \ pm \ sqrt {29}} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada se encuentran dentro de los intervalos.

[matemáticas] \ displaystyle \ left [\ frac {7- \ sqrt {33}} {2}; \ frac {7- \ sqrt {29}} {2} \ right] [/ math] y [math] \ displaystyle \ left [\ frac {7+ \ sqrt {29}} {2}; \ frac {7+ \ sqrt {33}} {2} \ right] [/ math].

Primero. notaremos que no hay soluciones en el primer intervalo.

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ lceil 7 \ cdot \ left (\ frac {7- \ sqrt {33}} {2} \ right) \ right \ rceil = 5 [/ math]

y

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ lceil 7 \ cdot \ left (\ frac {7- \ sqrt {29}} {2} \ right) \ right \ rceil = 6 [/ math],

por lo tanto, debemos buscar soluciones de las ecuaciones [matemáticas] x ^ 2 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2–1 = 0 [/ matemáticas]. Sus soluciones, [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ matemática] están todas fuera del intervalo dado.

El segundo intervalo tiene dos soluciones.

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ lceil 7 \ cdot \ left (\ frac {7+ \ sqrt {29}} {2} \ right) \ right \ rceil = 44 [/ math]

y

[matemáticas] \ displaystyle \ left \ lceil 7 \ cdot \ left (\ frac {7+ \ sqrt {33}} {2} \ right) \ right \ rceil = 45. [/ math]

y luego debemos buscar soluciones para las ecuaciones [matemáticas] x ^ 2–39 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2–40 = 0 [/ matemáticas]. Desechando las soluciones negativas, tenemos [matemática] x_1 = \ sqrt {39} [/ matemática] y [matemática] x_2 = \ sqrt {40} [/ matemática], ambas dentro del intervalo dado.

Por lo tanto, la suma de las soluciones es

[matemáticas] x_1 + x_2 = \ sqrt {39} + \ sqrt {40} [/ matemáticas].

Edición: supongo que la pregunta es “¿Cuál es la suma de las raíces” y no “de las raíces cuadradas”.