¿Cuál es el ángulo entre la gráfica de f (x) = 2sin (x) -1 y el eje x si la gráfica de f intersecta el eje x en x = pi / 6?

Answer 1

Primero, necesitamos encontrar la derivada de [math] f (x) [/ math] en [math] \ pi / 6 [/ math]. Esto se debe a que la derivada de una función evaluada en el punto [matemáticas] x [/ matemáticas] da la pendiente de la línea tangente a la gráfica de esa función en [matemáticas] (x, f (x)) [/ matemáticas]. En este caso [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], entonces la línea tangente estará en la intersección de [matemática] f (x) [/ matemática] y el eje x.

[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (2sin (x) – 1) = 2 \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } x} (sinx) = 2cos (x) \\ [/ math]

[matemáticas] f ‘(\ pi / 6) = 2cos (\ pi / 6) = 2 (\ frac {\ sqrt {3}} {2}) = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

La pendiente de una línea es la tangente del ángulo entre la línea y el eje x. Hemos encontrado que la pendiente es [math] \ sqrt {3} [/ math]. Llamemos al ángulo que queremos encontrar [matemáticas] \ theta [/ matemáticas]. Entonces nosotros tenemos:

[matemáticas] tan (\ theta) = \ sqrt {3} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ theta = arctan (\ sqrt {3}) = \ pi / 3 + k \ pi (k \ in \ mathbb {Z}) \\ [/ math]

[math] \ theta [/ math] debe estar entre 0 y [math] \ pi [/ math] por lo que la única solución es [math] \ theta = \ pi / 3 [/ math]

Answer 2

Es habitual comenzar las respuestas a este tipo de preguntas tomando una derivada.

[matemáticas] f ‘(x) = 2cos (x). [/ matemáticas]

Luego, para encontrar la pendiente de la tangente, evalúe [math] f ‘(\ frac {\ pi} {6}) = \ sqrt3. [/ Math]

Si el ángulo requerido es [matemática] \ theta [/ matemática], entonces [matemática] tan \ theta = \ sqrt3. [/ Matemática] Ahora termine.