Si x + iy = 3 / (2 + cosA + isinA), ¿a qué equivale x ^ 2 + y ^ 2?

La respuesta sería 9 / (5 + 4cosA).

SI X + iY = 3 / (2 + cosA + isinA) Entonces primero

haz la multiplicación cruzada y separa la parte real y la imagenari para que se vean a continuación exp.

x (2 + cosA) -ysinA = 3 – – -> PARTE REAL

y (2 + cosA) + xsinA = 0 – – -> PARTE IMAGENARIA

ahora suponiendo que 2 + cosA es T y obtenga el valor de T en la primera ecuación, luego ponga en la segunda, ahora la expresión sería como

xT-ysinA = 3 – – – eq1

T = (3 + ysinA) / x

yT + xsinA = 0- – -eq2

Ahora, poner el valor de T en eq2, así como simplemente ajustar la ecuación, el resultado sería el siguiente:

x ^ 2 + y ^ 2 = -3y / sinA – – -> eq3

Ahora, obteniendo el valor para y, primero obtendrá el valor x de eq1 y colocará este valor en eq2. Así que tu valor iría así

y = -3sinA / (5 + 4cosA)

Ahora ponga el valor y en eq3 y obtendremos la respuesta final de x ^ 2 + y ^ 2 es

9 / (5 + 4cosA)

[matemáticas] x + iy = \ frac {3} {{2 + \ cos A + i \ sin A}} [/ matemáticas]

[matemáticas] | x + iy | = \ frac {3} {{\ left ({2 + \ cos A} \ right) + i \ sin A}} [/ math]

[matemáticas] \ sqrt {{x ^ 2} + {y ^ 2}} = \ frac {3} {{\ sqrt {{{\ left ({2 + \ cos A} \ right)} ^ 2} + { {\ sin} ^ 2} A}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {{x ^ 2} + {y ^ 2}} = \ frac {3} {{\ sqrt {4 + {{\ cos} ^ 2} A + 4 \ cos A + {{\ sin } ^ 2} A}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {{x ^ 2} + {y ^ 2}} = \ frac {3} {{\ sqrt {5 + 4 \ cos A}}} [/ matemáticas]

Cuadrando en ambos lados, obtenemos

[matemática] \ en caja {{x ^ 2} + {y ^ 2} = \ frac {9} {{\ left ({5 + 4 \ cos A} \ right)}}} [/ math]

Nota:

  1. Si [math] z = x + iy [/ math], entonces el módulo de un número complejo viene dado por [math] | z | = \ sqrt {{x ^ 2} + {y ^ 2}} [/ math]
  2. [matemáticas] {\ sin ^ 2} \ theta + {\ cos ^ 2} \ theta = 1 [/ matemáticas]
  3. [matemáticas] {\ left ({a + b} \ right) ^ 2} = {a ^ 2} + 2ab + {b ^ 2} [/ math]

Z = x + iy

| z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2

| z | ^ 2 = (3 ^ 2) ÷ | 2 + cosA + isinA | ^ 2

= 9 / (2+ cos A) ^ 2 + sen A ^ 2

9 / (4 + 2cosA + cos ^ 2 A + sin ^ 2 A)

9/5 + 2cos A

Respuesta: 9 ÷ (5 + 2 cos A)