¿La función de valor absoluto para el dominio de todos los números reales positivos tiene una función inversa?

Answer 1

TL; DR: Sí

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La función [matemáticas] abs: x \ longmapsto | x | [/ math] definido en [math] \ mathbb {R} _ + [/ math] es trivialmente invertible (en el sentido de la composición) porque es igual a la función de identidad (que es una biyección) en este conjunto.

Esto muestra por qué es crucial definir una función como un triplete [matemático] (E, F, G) [/ matemático] de conjuntos donde [matemático] E [/ matemático] es el conjunto fuente, [matemático] F [/ matemático ] el codominio y [math] G [/ math] el gráfico, que es un subconjunto del producto cartesiano [math] E \ times F [/ math] en el que [math] \ forall (x, y) \ en G, \ y = f (x) [/ matemáticas]

¡Porque las propiedades inyectivas y sobreyectivas de una función asociada a una expresión dependen de la fuente y el codominio!

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La función de valor absoluto del que está hablando es:

[math] (\ mathbb {R_ +}, \ mathbb {R} _ +, G) [/ math] donde [math] G = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} _ + ^ 2, \ y = abs (x) \} [/ math]

Y de hecho es a la vez inyectivo y sobreyectivo.

Sin embargo, el “valor absoluto” similar que, rigurosamente, no es la misma función:

[math] (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} _ +, G) [/ math] con el mismo [math] G [/ math] que antes, ya no es inyectivo.

Answer 2

En los reales positivos, la función absoluta es solo f (x) = xo y = x. Entonces, para invertir, resuelve x para obtener x = y. Ahora vuelva a etiquetar para que f inverso sea x, o f mismo.

Imagínelo de esta manera usando algunos valores representativos:

3 ——-> 3 por f

5 ——-> 5 por f

Ahora invierta las flechas para ver f inversa:

3 ← —- 3 por f inversa

5 ← —-5 por f inversa.

Answer 3

Gracias por el A2A!

No. Para que una función tenga un inverso, debe ser uno a uno. Es fácil ver que [math] | -a | = | a | [/ math], y cuando [math] a \ neq 0 [/ math], [math] -a \ neq a [/ math].