¿Cómo encuentro un número que, cuando se divide entre 6, obtiene un resto de 3 y, cuando se divide entre 4, obtiene un resto de 1?

Answer 1

Entonces, queremos un número N tal que N = 3 (mod 6) y N = 1 (mod 4). Como dijo Doug Dillon directamente, esto significa, en otras palabras, queremos una N tal que N = 6 * p + 3 (para algún entero p) y tal que N = 4 * q + 1 (para algún entero q).

6p + 3 = 4q + 1 → 4q – 6p = 2 → 2q – 3p = 1 → 2q = 3p + 1. Entonces tenemos una relación que nos da q para una p determinada. Observe que debido a que pyq son enteros, el lado izquierdo es par, por lo que el lado derecho también debe serlo. Entonces eso pone algunas restricciones en p, principalmente que p debe ser impar. Si observamos valores positivos de p, tenemos p = 1, 3, 5, 7 … que corresponden a N = 9, 21, 33, 45, etc. Si dejamos p = 2k + 1 para cualquier número entero k (esto es esencialmente la definición de “un número entero impar”) y conecte esto nuevamente a nuestra expresión para N basado en p, obtenemos:

N = 6 * p + 3 = 6 * (2k + 1) + 3 = 12k + 6 + 3 = 12k + 9 para cualquier número entero k. Esto es equivalente a decir N = 9 (mod 12). Entonces, todas las soluciones serán números N = 9 (mod 12).

Estoy seguro de que hay una manera mejor y más rigurosa de hacer / decir esto, pero creo que al final esto funciona. Para k> = 0, N = 9, 21, 33, 45, 57,…

Answer 2

Encuentre cualquier número que sea divisible por 3 y sea 1 más que un número divisible por 4.

Después de la primera ocurrencia positiva, ocurre cada 12 números: 9, 21, 33, etc.

Answer 3

Deje que el número sea (x).

x = 6k + 3 = 3 (2k + 1) = 3n -> {1}

x = 4m + 1 -> {2}

{1} y {2} establece que,

3n = 4m + 1

n = (4m + 1) / 3

Reúna valores adecuados para (m) obteniendo valores enteros para (n).

m = 2,5,8,11, …………

Observe que los valores posibles para (m) que satisfacen la condición forman una secuencia (AP).

El término general para (m) es,

m = 3a – 1

Ahora sustituya esto en la ecuación principal de (x).

x = 4m + 1

x = 4 (3a – 1) + 1

x = 12a – 3

Esta es la respuesta.

Para cualquier número entero (a), (12a – 3) da el resto (3) cuando se divide entre (6) y da el resto (1) cuando se divide entre (4).

[Recuerde que (k), (m), (n) y (a) son enteros]

[No olvides la respuesta -> (12a – 3)]