Ninguna.
Es un resultado conocido desde hace mucho tiempo sobre los números naturales distintos de cero que cada uno de ellos puede expresarse como un producto de factores primos de una sola manera (ignorando el orden de los factores, que no afecta el producto).
Este es un teorema bastante difícil de probar, pero ciertamente debes conocer el resultado.
12600 = 2.2.2.3.3.5.5.7
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Por lo tanto, expresarlo como un producto de números primos requiere ocho factores, ni más ni menos.
Sospecho que realmente quiere factores relativamente primos (“coprime”), que no son lo mismo que solo factores “primos”. Los factores primos relativos no tienen factores en común; es necesario y suficiente para que no haya factores primos en común.
Como el producto debe ser 12600, todos sus factores primos deben aparecer en uno u otro de cualquier par de números que formen una solución. Dado que cualquier factor primo que ocurra en un número no debe ocurrir en el otro, todas las instancias de un factor primo particular deben ocurrir juntas. En efecto, entonces, debemos elegir algunos de [matemática] (2 ^ 3) \ (3 ^ 2) \ (5 ^ 2) \ (7) [/ matemática] para reafirmar un factor, multiplicándolos juntos, y el el resto se multiplica para formar el otro factor.
Las opciones de cómo elegir el primer factor son [matemáticas] 2 ^ 4 [/ matemáticas], una opción binaria (incluir o no) que se puede hacer de forma independiente para cada uno de los cuatro grupos de factores primos iguales. Hasta ahora, parece 16 posibles pares de factores. Sin embargo, realmente no importa en qué orden elija los factores. Dicho de otra manera, elegir un grupo de factores es equivalente a elegir exactamente los factores restantes; De cualquier manera, terminas con los mismos dos factores relativamente primos. Por lo tanto, cada par se ha contado dos veces, y en realidad solo hay ocho soluciones diferentes.