Si. Además, esto no es solo una convención: en realidad es un teorema de que esto es cierto para todos los anillos ordenados. (Excluyendo el caso trivial donde [matemática] 0 = 1 [/ matemática]).
Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones asociativas [matemática] + [/ matemática] y [matemática] \ cdot [/ matemática] de manera que [matemática] + [/ matemática] es conmutativa, [matemática] \ cdot [/ matemática] se distribuye entre [matemáticas] + [/ matemáticas], existen identidades aditivas y multiplicativas (es decir, elementos [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] definidas por el hecho de que [matemáticas] x + 0 = 0 + x = x [/ matemática] y [matemática] 1 \ cdot x = x \ cdot 1 = x [/ matemática] para todos [matemática] x [/ matemática] en el anillo), y hay inversas aditivas (es decir, por cada [matemática] x [/ matemática] en el anillo, hay un elemento [matemático] -x [/ matemático] tal que [matemático] x + -x = 0 [/ matemático]).
La idea de un anillo ordenado es que también se lanza una operación de comparación [math] \ leq [/ math], que satisface las propiedades que si [math] x \ leq y [/ math] y [math] y \ leq z [/ matemática] luego [matemática] x \ leq z [/ matemática], si [matemática] x \ leq y [/ matemática] y [matemática] y \ leq x [/ matemática] entonces [matemática] x = y [/ matemática], y finalmente, para cada par [matemática] x, y [/ matemática], es cierto que [matemática] x \ leq y [/ matemática] o [matemática] y \ leq x [/ matemática]. Sin embargo, nos gustaría que nuestras operaciones se comporten bien con respecto a este orden; de lo contrario, solo tenemos dos tipos diferentes de estructuras que no interactúan en absoluto.
¿Qué nos gustaría ser verdad? Bueno, tiene sentido que si comienzas a agregar elementos positivos o más grandes que [math] 0 [/ math], deberías obtener algo más grande que [math] 0 [/ math]. Entonces, de hecho, la forma en que expresamos esto es:
- ¿Existe un axioma que afirma que los números complejos se pueden representar en un plano complejo?
- ¿Cuál es la suma total de los números de 3 dígitos formados por 0, 2, 4, 5 y 6 sin repetición?
- ¿Cuál es el propósito del número 3?
- ¿El número [matemáticas] 10 ^ n + 1 [/ matemáticas] no es primo para [matemáticas] n \ ge 3 [/ matemáticas]?
- ¿Es 0 (cero) un término positivo o un término negativo?
- Si [matemática] a \ leq b [/ matemática], entonces [matemática] a + c \ leq b + c [/ matemática], y
- Si [math] 0 \ leq a, b [/ math], entonces [math] 0 \ leq ab [/ math].
Ahora, quiero demostrar que bajo estas condiciones que [math] 0 \ leq 1 [/ math] y [math] -1 \ leq 0 [/ math]. Si [math] 0 \ neq 1 [/ math], esto prueba lo que queremos.
Es fácil ver que si [math] 0 \ leq 1 [/ math], al agregar [math] -1 [/ math] a ambos lados, obtenemos que [math] -1 \ leq 0 [/ math] . Ergo, en realidad es suficiente demostrar que [math] 0 \ leq 1 [/ math].
Supongamos que no. Entonces sabemos que [math] 1 \ leq 0 [/ math], y al agregar [math] -1 [/ math] a ambos lados obtenemos que [math] 0 \ leq -1 [/ math]. es posible?
De esto podemos concluir que [math] 0 \ leq (-1) \ cdot (-1) [/ math]. Pero, ¿qué es [matemáticas] (- 1) \ cdot (-1) [/ matemáticas]? Bueno, observamos que
[matemáticas] \ begin {align *} (-1) \ cdot (-1) + -1 & = (-1) \ cdot (-1) + (-1) \ cdot 1 \\ & = (-1) \ cdot (-1 + 1) \\ & = -1 \ cdot 0 \ end {align *} \ tag * {}. [/ math]
Es un ejercicio fácil demostrar que [matemática] x \ cdot 0 = 0 [/ matemática] para cualquier [matemática] x [/ matemática] en el ring, y por lo tanto debe ser que
[matemáticas] \ displaystyle (-1) \ cdot (-1) + -1 = 0 \ etiqueta * {}, [/ matemáticas]
o, agregando [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a ambos lados,
[matemáticas] \ displaystyle (-1) \ cdot (-1) = 1 \ etiqueta * {}. [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] 0 \ leq (-1) \ cdot (-1) = 1 [/ math], y así sabemos que [math] 0 \ leq 1 [/ math] y [math] 1 \ leq 0 [ /matemáticas]. De esto, se deduce que [matemáticas] 0 = 1 [/ matemáticas]. Como asumimos desde el principio que este no era el caso, hemos terminado.