Dada una cuadrícula de 3 * 3, rellenamos los dígitos 1, 2, 3 y 4 en su interior. No se permiten dígitos repetidos en una fila o columna. ¿Cuántas maneras tengo? Educación te da un futuro mejor

Hay [matemáticas] 4 ^ 9 = 262144 [/ matemáticas] formas únicas de completar la cuadrícula sin ninguna regla. Esa es una gran cantidad, pero no es tan malo forzar la fuerza bruta con una computadora. De hecho, podemos hacer que el problema sea mucho más pequeño que eso. Cada fila debe ser un conjunto único de números; hay [matemáticas] \ binom {4} {3} 3! = 24 [/ matemáticas] formas únicas de elegir y ordenar 3 números de un conjunto de cuatro. Entonces, podemos probar fila por fila y eso solo nos da [matemáticas] 24 ^ 3 = 13824. [/ Matemáticas] Podemos hacerlo incluso mejor que esto; Al explotar la simetría del problema podemos sin pérdida de generalidad arreglar la primera fila como 1,2,3, y luego multiplicar el número de soluciones que obtenemos por 24. Por lo tanto, solo tenemos que probar [matemáticas] 24 ^ 2 = 576 [/ matemáticas] combinaciones.

Aquí está mi script R:

  biblioteca (gtools)
 #https: //stackoverflow.com/questions/11095992/generating-all-distinct-permutations-of-a-list-in-r

 perms = permutaciones (n = 4, r = 3) # cada fila es una permutación

 #n y k denotan qué permutación queremos para las filas 2 y 3 respectivamente.
 generate.grid = function (n, k) {
   rbind (permisos [1,], permisos [n,], permisos [k,]) 
 }

 # asegúrese de que cada columna tenga 3 dígitos únicos (ya sabemos que esto es cierto para las filas)
 test.grid = function (grid) { 
   (length (unique (grid [, 1])) == 3) & (length (unique (grid [, 2])) == 3) & (length (unique (grid [, 3]))) == 3) 
 }

 cuenta = 0

 para (n en 1:24) {
   para (k en 1:24) {
     cuenta = cuenta + prueba.grid (generate.grid (n, k))
   }
 }

 imprimir (contar)

Esto genera 44, pero tenemos que multiplicar por 24 nuevamente, por lo que la respuesta real es 1056. Aquí están los 44 ejemplos que comienzan con 1,2,3:

  > para (n en 1:24) {
 + para (k en 1:24) {
 + grid = generate.grid (n, k)
 + if (test.grid (grid)) {
 + imprimir (cuadrícula)
 +}
 +}
 +}
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 1 4
 [3,] 3 4 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 1 4
 [3,] 3 4 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 1 4
 [3,] 4 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 1 4
 [3,] 4 3 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 1
 [3,] 3 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 1
 [3,] 3 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 1
 [3,] 3 4 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 1
 [3,] 4 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 4
 [3,] 3 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 4
 [3,] 3 4 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 4
 [3,] 3 4 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 3 4
 [3,] 4 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 4 1
 [3,] 3 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 4 1
 [3,] 3 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 4 1
 [3,] 4 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 2 4 1
 [3,] 4 3 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 2
 [3,] 2 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 2
 [3,] 2 3 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 2
 [3,] 2 4 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 2
 [3,] 4 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 4
 [3,] 2 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 4
 [3,] 2 4 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 4
 [3,] 4 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 1 4
 [3,] 4 3 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 1
 [3,] 2 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 1
 [3,] 2 3 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 1
 [3,] 4 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 1
 [3,] 4 3 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 2
 [3,] 2 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 2
 [3,] 2 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 2
 [3,] 2 3 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 3 4 2
 [3,] 4 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 1 2
 [3,] 2 3 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 1 2
 [3,] 2 3 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 1 2
 [3,] 2 4 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 1 2
 [3,] 3 4 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 1
 [3,] 2 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 1
 [3,] 3 1 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 1
 [3,] 3 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 1
 [3,] 3 4 2
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 2
 [3,] 2 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 2
 [3,] 2 4 1
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 2
 [3,] 3 1 4
      [, 1] [, 2] [, 3]
 [1,] 1 2 3
 [2,] 4 3 2
 [3,] 3 4 1