¿Hay algo más allá de los números complejos? ¿Hay más números que no caben dentro de los números complejos? ¿Por qué no encajarían allí? ¿Por qué son útiles?

Answer 1

Hay muchos, muchos tipos de objetos algebraicos más allá de los números complejos. Algunos de ellos se llaman “números”, como los cuaterniones u octoniones o números ordinales o números surrealistas; algunos no suelen llamarse así (como las funciones racionales, por ejemplo), pero es importante darse cuenta de que no hay un significado específico para la palabra “número” y podemos elegir llamar a cualquiera o a todas o ninguna de estas cosas “números” .

Los números complejos son un campo . Esto solo significa que los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir entre sí y se aplican las reglas habituales de álgebra. Los números complejos son muchas otras cosas más allá de “un campo” (también tienen una estructura geométrica y una estructura analítica), pero inicialmente por su papel de “números” podemos mantener su comportamiento algebraico.

Entonces, ¿hay campos más grandes más allá de los números complejos? Ciertamente hay. El más simple está formado por razones de polinomios en alguna variable, digamos [math] x [/ math]. Una de esas razones (llamada “función racional”) es [matemática] \ frac {x ^ 2-ix + 7} {2i-x} [/ matemática]. El conjunto de todas esas funciones se llama [math] \ mathbb {C} (x) [/ math] y también es un campo: las funciones racionales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir y las reglas habituales de álgebra aún aplicar.

Los elementos de [math] \ mathbb {C} (x) [/ math] normalmente no se denominan “números”, pero, de nuevo, no hay nada inherentemente no numérico en ellos. Podríamos haberlos llamado también “números espinosos” y no nos ocurriría nada malo.

En una dirección diferente, hay Quaternions (matemáticas). Los cuaterniones llegan a llamarse “números” con bastante frecuencia, y contienen los números complejos, por lo que podría decirse que se encuentran “más allá” de ellos, pero con los cuaterniones algunas de las reglas habituales de álgebra en realidad no se aplican: multiplicar [ math] a \ times b [/ math] no suele dar el mismo resultado que [math] b \ times a [/ math]. Entonces, ¿por qué está bien pensar en ellos como números y las funciones racionales de mejor comportamiento como no números? Sin razón. Es solo terminología.

Los cuaterniones no son un campo, pero son un álgebra de división. Los octonions, que se encuentran más allá y más allá, ni siquiera son eso. Pero también son útiles de varias maneras.

También hay otros campos cuyos elementos se denominan “números”, como el campo de números enteros módulo 23. Tales campos no contienen los números complejos, ni están contenidos en ellos; Son simplemente diferentes. ¿Diría que se encuentran “más allá” de los números complejos? Quizás. O tal vez se encuentran un poco más abajo ya la izquierda. No importa mucho

Hay muchos, muchos campos. Algunos grandes, otros pequeños. Algunos finitos, algunos infinitos. Algunos están contenidos en los números complejos, algunos los contienen, otros tampoco. Algunos están ordenados (lo que significa que tienen un concepto de “mayor que”) y otros no; los números complejos en sí no están ordenados, pero los reales sí, y los números surrealistas de Conways son, en cierto sentido, el campo ordenado más grande posible. Incluyen números infinitamente grandes e infinitamente pequeños, por lo que ciertamente van mucho más allá de los simples números complejos, pero al mismo tiempo no contienen el número simple [math] i [/ math].

¿Por qué no encajan estos diferentes tipos de números dentro de los números complejos? Porque se comportan de manera diferente. El campo de números enteros mod 23 tiene la característica sorprendente de que si agrega algo a sí mismo veintitrés veces, obtiene 0. Ningún número complejo exhibe este comportamiento peculiar, por lo que no podemos ajustar [math] \ mathbb {Z} / 23 \ mathbb {Z} [/ math] dentro del campo de números complejos. Lo mismo con los cuaterniones, u octoniones, o números surrealistas, o funciones racionales en una o dos o tres o infinitas variables.

¿Para qué son útiles estos nuevos números? Oh, muchas cosas Los campos finitos son útiles en la comunicación digital. Los cuaterniones son útiles en la animación por computadora. Las funciones racionales son útiles en geometría. Y los números surrealistas son útiles para ampliar nuestras mentes, llenándonos de una sensación de asombro y maravilla de lo que nuestras propias mentes son capaces y qué cosas existen en nuestra imaginación, incluso si no encajan en nuestro universo físico accidental.

Answer 2

Otras soluciones hasta ahora se han centrado en cosas que se parecen mucho a los números reales y los números complejos, pero me gustaría agregar una visión más amplia.

Antecedentes

Es bastante común hoy en día que las escuelas introduzcan números enteros, racionales, reales y complejos como una “torre de números” en expansión, que a menudo asocia el proceso de encontrar raíces a polinomios.

Ahora, este es un proceso útil para participar cuando tienes una audiencia que no está acostumbrada a la abstracción, porque construye una larga pista para que el estudiante despegue. En algún momento, el estudiante debería poder seguir esta pista y tomar vuelo hacia la abstracción.

Generalizacion de numeros

¿Cuál es la otra imagen a la que me refiero que contrasta con el método de “construcción”? En lugar de trabajar de abajo hacia arriba y tomar estructuras, conocemos (digamos, los números reales) y redefinimos sucesivamente lo que pensamos como un número para agrandar lo antiguo (es decir, pensar en i como un número y ahora considerar los “números” del formar a + bi como cosas nuevas) podríamos llegar a él desde la otra dirección. Podríamos trabajar de arriba hacia abajo escribiendo muchas cosas que nos gustan sobre los números reales y luego preguntar “¿qué otras cosas tienen esas propiedades también?”

Si, por ejemplo, tomamos todos los axiomas de suma, resta, multiplicación y división y los axiomas de asociatividad y distributividad que los relacionan, y la conmutatividad, entonces el tipo de objeto que satisface esos axiomas se llama campo , y es el objeto central en teoría de campo (ver Campo (matemática)). Esto subsume los números complejos y todos sus subcampos, así como otros tipos de campos como los campos finitos.

Si simplemente sueltas la conmutatividad, obtienes un anillo de división (o campo sesgado). En la traducción de los Fundamentos de geometría de Hilbert, él presenta “álgebras de segmentos de línea” que se llaman “sistemas de números” y resultan ser anillos de división . Los cuaterniones (mencionados en otras soluciones hasta ahora) son un excelente ejemplo de un anillo de división.

Si abandonas el requisito de que las cosas tienen inversas multiplicativas, obtienes un anillo , y estos se estudian en la teoría de los anillos (ver Teoría de los anillos). Esto no solo te compra los reales, los complejos y los cuaterniones, sino también los anillos de matriz y los anillos polinómicos. Todos cuentan como anillos.

Dejar caer la asociatividad te lleva al reino de los anillos no asociativos (ver Anillo no asociativo ). El anillo de octoniones, mencionado en otra respuesta, es un buen ejemplo de un anillo no asociativo.

¿Por qué no se incluyen todos los anillos en los números complejos?

Los anillos en general pueden tener un comportamiento muy diferente de los números complejos. Por ejemplo, si la multiplicación no es conmutativa, entonces obviamente no pueden estar contenidos dentro de los números complejos (¿puede ver por qué?) En un campo finito, puede agregar la identidad 1 a sí misma repetidamente, y eventualmente volverá a aparecer en cero (otro buen ejercicio para que intentes). Esto no es posible en los números complejos, o incluso en los números racionales. Puede poner un orden total en los números reales para que la suma y la multiplicación se comporten bien: pero no puede hacer lo mismo para los números complejos.

Si piensa en los números complejos [math] \ mathbb C [/ math] como un campo, ya puede pensar que es el campo más grande que conoce. Pero realmente hay campos mucho más grandes con los que puedes extender esto. Puede, por ejemplo, notar que el campo de polinomios racionales [math] \ mathbb C (x) [/ math] contiene correctamente una copia de [math] \ mathbb C [/ math], y que está contenido en un archivo aún más grande campo de polinomios racionales [matemática] \ mathbb C (x, y) [/ matemática] y así sucesivamente.

Resumen

Es perfectamente razonable descartar la noción de “números” y aceptar los elementos de los anillos (u otras variantes) como cosas para hacer álgebra. Esto es básicamente lo que haces en la teoría de los anillos.

Esta idea de abstracción escribiendo propiedades importantes y preguntando “¿qué otras cosas satisfacen esto? ¿Cuán diferentes pueden ser?” es una parte esencial de las matemáticas modernas, y todos deben reconocer el enfoque “de arriba hacia abajo” de la abstracción. (Hacia el final del siglo XIX, la gente seguía avanzando lentamente construyendo “números hipercomplejos” a través de medios progresivamente exóticos. Incluso hoy en día, algunos aficionados a estos anillos parecen limitarse al enfoque “de abajo hacia arriba” de la teoría de los anillos, lo cual me parece ser un poco tedioso)

Answer 3

La respuesta directa es sí, hay Quaternions, de los cuales los números complejos son un subconjunto. Los cuaterniones no son tan útiles como los números complejos, y la aritmética en ellos comienza a complicarse porque no conmutan, es decir AB [math] \ neq [/ math] BA , en general. Sin embargo, se usan en aplicaciones que requieren rotaciones 3D, como gráficos por computadora y cristalografía, y también se usan a veces al hacer cálculos de espacio-tiempo en física, ya que son cálculos 4D.

Puede continuar este proceso de “generalización” a conjuntos más grandes con más dimensiones, pero cada vez que lo haga, perderá propiedades útiles como la comunividad y la asociatividad. Esto entra en el dominio del álgebra abstracta, con el que no estoy muy familiarizado, por lo que lo remitiré a las respuestas publicadas para preguntas similares.

¿Existen números de dimensiones superiores? ¿O se detienen con 2 dimensiones (números complejos)?

Answer 4

Me sorprende que nadie haya mencionado aún los reales no estándar y los filelds formalmente reales.

¿Alguna vez te has preguntado por qué la derivada se muestra como una fracción, [math] \ frac {df} {dx} [/ math]? El cálculo fue inventado simultáneamente por Newton y Leibnitz. La notación de Newton muestra derivados como fluxiones, con un punto sobre el nombre de la función, [math] [/ math] [math] \ dot g [/ math] es la derivada (fluxion) de la función g, mientras que Leibnitz usa infinitesimales, y el derivada es el cociente de dos infinitesimales. Cauchy finalmente formalizó el cálculo con el concepto de límite, y los infinitesimales son vistos como un procedimiento de límite. Pero el enfoque de Leibnitz era, en cambio, que los infinitesimales eran números reales reales, infinitamente pequeños, y el campo real contenía infintesimales, infinitos y números estándar (finitos). La derivada en un punto es el cociente de dos diferenciales, siendo infinitesimales, y este cociente puede ser en sí mismo un infintesimal, un infinito o un real estándar (más precisamente, la derivada puede tener una parte estándar que sea un número real o infinito, y el resto es infinitesimal).

Las anotaciones de Leibnitz se han mantenido, siendo más expresivas que las de Newton, pero interpretadas por Cauchy como límites de cotiens de pequeñas cantidades. Pero la alternativa de considerarlos números reales “reales” (infinitesimales) sigue siendo posible.

La teoría del análisis no estándar: Wikipedia, desarrollada por Robinson en la década de 1960, considera el desarrollo del análisis moderno siguiendo el enfoque de Leibnitz. Puede consultar wikipedia para obtener un resumen que sería demasiado largo para incluir aquí. La principal diferencia de los reales no estándar y los reales estándar es que el campo de los reales no estándar no es Archimedean, es decir, no es cierto que dados números reales [matemáticas] a, b [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] siempre hay un número entero [math] n [/ math] tal que [math] na> b [/ math] ya que existe la posibilidad de que [math] [/ math] [math] a [/ math] sea infinitesimal con respecto a [matemáticas] b. [/ matemáticas]

Los reales no estándar son un campo ordenado, y son un primer ejemplo de campos formalmente reales, que son campos ordenados con propiedades similares a los reales, pero sin la propiedad archimedean. En particular, el cierre algebraico de un campo formalmente real es generado por [math] \ sqrt {-1} [/ math]. Por lo tanto, también hay números complejos no estándar. El problema es muy técnico, pero investigado activamente. La importancia se debe al hecho de que los números reales no son constructivos (no se puede decidir la igualdad de los números reales dados por las secuencias de Cauchy o los cortes de Dedekind) pero existen campos reales constructivos. Son estructuras computacionalmente interesantes.

Answer 5

Cargas: consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Hyp …

Hay dos álgebras de división más allá de los números complejos:

cuaterniones y octonios. Pero eso es todo.

Answer 6

Un número complejo es un número expresado en forma de a + ib, donde a es la parte real y la última parte imaginaria.

A través de cálculos matemáticos, sabemos que el valor de ‘i’ es √-1

Answer 7

El número complejo es un tema muy simple, si ve el video a continuación, borrará sus conceptos y podrá resolver todos los problemas del tema.

Answer 8

Un número natural que ha desarrollado un gemelo mental complejo (totalmente imaginario) y vive una vida esquizofrénica. Le dijeron que fuera a recibir asesoramiento, pero se niega y ahora vive fuera de la red de la sociedad natural. Hace algunas cosas hermosas con su amigo imaginario, pero la mayoría de las veces pasan el rato con los bichos raros … como funciones trigonométricas y practican la teoría de los números trascendentales.

Answer 9

En general, los números imaginarios se llaman números coplex

Cómo se originó

Por ejemplo

X ^ 2 = -1

X = √-1 = i (imaginario)

Porque una raíz cuadrada no puede ser negativa

Entonces lo asumimos como un número imaginario que denotamos por i.

Answer 10

Se dice que un número en forma de a + ib es un número complejo. Donde denoto parte imaginaria del número. Si algún número negativo viene debajo de la raíz, muestra el número imaginario.

ej. √ (-4) o puede escribirse en la forma 2i.

√-4 se puede reescribir como

=> √-4 = √4 * √-1

Si reemplazamos √-1 con i (iota), obtenemos

=> √-4 = √4 * i

=> √-4 = 2 * i

=> √-4 = 2i

Answer 11

Puedo ayudarlo a comenzar:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyp …

Answer 12

Números imaginarios y no existe en el no real. Línea.

Los fundamentos del complejo no. Comienza desde la raíz cuadrada de -1 llamada i en el complejo no.

Answer 13

Número complejo es el número que existe en forma de a + iz.

Answer 14

Los números complejos son aquellos que tienen sus partes reales e imaginarias , es decir, x + iy (en la que x es la parte real e y es la parte imaginaria). Aquí se conoce como iota, que tiene el valor (-1) ^ 1/2.