¿Existe una representación de número real “continua”, en la que dos números cercanos tienen siempre una representación similar?

Answer 1

Aquí hay tres pensamientos. Primero, cualesquiera dos números reales distintos, no importa cuán cerca estén uno del otro, tienen un conjunto incontable de números reales entre ellos. Entonces, en cierto sentido, no existe tal cosa como “cerrar”. O dicho de otra manera, cualquier representación que elija debe dejar MUCHO espacio entre las representaciones de dos números “cercanos”.

En segundo lugar, la notación posicional en cualquier base, naturalmente, hace esto. Si escribe dos números, como secuencias de dígitos, entonces, cuanto más coincidan los dígitos consecutivos (suponiendo que tenga los números “alineados”), más cercanos estarán los números entre sí. Por supuesto, como casi todos los números reales tienen una representación que no se repite ni termina usando notación posicional, incluso dos números reales que están “cercanos”, en general, estarán en desacuerdo en infinitas posiciones decimales. Pero la clave no es ver cuántos dígitos están de acuerdo, sino qué tan lejos debe ir en la secuencia hasta que encuentre un desacuerdo.

Tercero, ¿qué pasaría si, para ser concretos, solo estuviéramos hablando de reales entre cero y uno? Entonces, tal vez una representación más “visual” (pero equivalente al párrafo anterior usando la base 2) sería pensar en un árbol binario en el que cada rama se divide en dos ramas secundarias que descienden para siempre. Cada vez que toma una rama izquierda, que corresponde a un 1 en la representación binaria. Cada vez que gira a la derecha, corresponde a un 0 en la representación binaria. Usando esta representación, podemos definir una idea útil de cierre como la profundidad que desciende antes de la primera salida. Entonces [math] a [/ math] y [math] b [/ math] están más cerca uno del otro que [math] c [/ math] y [math] d [/ math] si y solo si sigues el árbol a una profundidad más profunda antes de la partida al comparar [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] que cuando compara [matemáticas] c [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas].

Answer 2

Pidió responder.

Al observar el comentario sobre la pregunta, creo que si representa un número real [matemático] x [/ matemático] por un segmento de línea de longitud proporcional a [matemático] x [/ matemático], entonces dos números cercanos tendrán Representaciones “similares”, ya que las longitudes de los dos segmentos de línea serían proporcionalmente cercanas.

Cualquier representación que sea esencialmente una secuencia de números finitos interpretados de alguna manera (como decimal, fracciones continuas, ternario equilibrado, etc.) tiene un problema: dos números “cercanos” que requieran una secuencia infinita para representar diferirán en un potencial infinito número de ubicaciones, y casi todos los números reales requerirán una secuencia infinita para representar.

Entonces, a menos que haya algún elemento de la representación que sea continuo en sí mismo (como las longitudes de los segmentos de línea), entonces no hay una representación que cumpla con sus requisitos.

Answer 3

Los números están representados de forma única. ¿Definir qué significa similar? A tus ojos?

En álgebra lineal existe la idea de transformaciones de similitud. [1]

Una matriz [matemática] A = P ^ {- 1} BP [/ matemática]

estos están en clases de conjugación. Una transformación de similitud es la descomposición propia. Son transformaciones de similitud para formas, son rotaciones en el espacio.

Notas al pie

[1] Similitud de matriz – Wikipedia

Answer 4

Seguro