Sí, es posible imaginar un conjunto de números “sigilosos” o números “inestables”.
Disculpe mi notación, pero procedo de la siguiente manera:
“Números sigilosos” = {x | x posee la propiedad de “sigilo”} intersección con {números}}
“Números inestables” = {y | y posee la propiedad de inestabilidad ”| intersección con {números}}
- En la secuencia del 10 al 20 hay 4 números primos (11, 13, 17, 19)? ¿Hay algún otro conjunto contiguo de números que abarque desde un múltiplo de 10 al siguiente que contenga tantos primos? Si es así, ¿dónde, y si no, puede probarse eso?
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Dependiendo de cómo se definen las propiedades de “sigilo” e “inestable”, así como la elección de la definición de lo que constituye un “número”, los conjuntos pueden terminar siendo el conjunto vacío, pero para todos los casos se obtendrá un conjunto , y entonces uno puede imaginar ese conjunto (dado el axioma de que si existe un conjunto, entonces uno puede imaginarlo). QED
PD: Hay una circunstancia excepcional que creo que debo agregar: dependiendo de su sistema axiomático, puede ser que los “números” no formen un conjunto (por ejemplo, los números surrealistas forman una clase), y también puede ser que los objetos tengan propiedades de “sigilo” o “estabilidad” también podrían formar clases, en cuyo caso la regla de intersección del tamaño del conjunto no produciría significativamente ningún conjunto, sino una clase adecuada. Si ese es el caso, sin embargo, uno puede usar técnicas de Grothendieck u otros medios para definir una operación análoga para definir aquellos objetos que son sigilosos / inestables y números, pero estas colecciones podrían, por definición y construcción, formar un clase apropiada, en cuyo caso la capacidad de imaginar todos los conjuntos no cubriría esta colección, y como tal una colección (definida como en este párrafo) no es un conjunto en absoluto, NO sería posible imaginar tal conjunto (aunque uno podría imaginar una clase de tales números, dado un axioma de que todas las clases que están bien definidas son imaginables).
Lo que escribí anteriormente es el esquema de las pruebas, que pueden hacerse rigurosas, que responden a su pregunta. Lo que escribo a continuación demostrará un modelo que muestra tales conjuntos de sigilo y números estables, y también puede hacerse riguroso.
Comencemos con los números naturales, 1, 2, 3 … Estos son un conjunto.
Expandamos nuestra definición de número para incluir cero, dando el conjunto de enteros no negativos.
Definamos “inestabilidad” como “producir un resultado indefinido cuando dos elementos del conjunto de enteros no negativos se operan con un operador binario”.
Presentemos ahora el funcionamiento de la división. Esto produce el conjunto de números racionales no negativos y también el conjunto de números “inestables” de la forma a, b, donde b = 0, ya que a / 0 no está definido. No es difícil para mí imaginar el conjunto de tales “números”, QED. Tales expresiones tampoco son tonterías completas; el cálculo define valores para tales funciones como valores definidos donde el límite de la derecha y el límite de la izquierda convergen, por lo que es significativo hablar de tales expresiones donde dichas expresiones están bien definidas. En general, sin embargo, a / 0, por sí mismo, no tiene ese significado, dadas solo las definiciones de a, 0 y división.
Ahora demostraré números de “sigilo”.
Comience con los números naturales 1,2,3 … estos son un conjunto.
Expandamos nuestra definición de número al plano complejo (positivo, positivo), definiendo representaciones (a, b), donde a y b son números naturales y puede usarlos como lo haría con a + bi. Este es un conjunto.
Defina la propiedad de “sigilo” como carente de un orden natural bajo las operaciones de donde a <b significa que a está a la izquierda de b en la línea de número real (o líneas perpendiculares a esa línea en el plano complejo).
Ahora puedo demostrar, por ejemplo, que (1,2) y (1,3) son sigilosos. Estos dos números complejos no son iguales entre sí, pero tienen la misma magnitud de sus partes reales. El conjunto de números (a, b) y (a, c) donde b = c es el conjunto de números que son sigilosos entre sí. Sí, mi ejemplo tiene una estructura interesante para imaginar, pero sigue siendo un conjunto que puedo imaginar. 🙂 Aquí, la propiedad del sigilo no es válida para un solo número en sí mismo, sino solo en la capacidad de darle una estricta relación de orden al comparar las magnitudes reales. Por supuesto, ampliar la definición de “número” permite lo que se llama “números complejos” es algo con antecedentes históricos, por lo que el simple hecho de llamar a esos objetos “números” no nos mete en problemas: en una conversación o en un documento, uno define qué uno significa por número, y tener el hecho de que el conjunto de números complejos permite el sigilo donde el conjunto de números reales (o enteros o racionales naturales o no negativos, etc.) no es un problema; solo significa que uno tiene que entender que al expandir la definición de lo que es un número para incluir números complejos significa que la definición existente que permite que dos números distintos sean , ya no se define para números complejos. (Podría agregar definiciones para permitir estas operaciones (por ejemplo, definir una magnitud de un número complejo como, por ejemplo, el módulo, pero luego encontrará que dos números complejos diferentes, cada uno con la misma cantidad “mayor” que un tercer número) iguales entre sí o definir (a, b) <(c, d) cuando a <c; si a = c, (a, b) <(c, d) cuando b <d. En cualquier caso, bajo el definición, como le di para ser solo para comparar las partes reales, cualesquiera dos números complejos con diferentes partes imaginarias serán sigilosos con respecto uno a otro.