¿Se puede demostrar que existe un número entero n que se puede escribir de dos maneras diferentes como la suma de dos números primos distintos?

Answer 1

¡Seguro!

Suponiendo que tal número exista, ¿qué podemos decir sobre los números primos que suman? Llamemos a estos números primos p, q, r y s por conveniencia; entonces estamos diciendo que hay un número par n = 2k para alguna k natural, con n = 2k = p + q = r + s. Queremos que los pares desordenados {p, q} y {r, s} sean distintos, lo que significa que cada uno de p, q, r y s es distinto el uno del otro. ¿Podría alguno de ellos ser = 2? No, dado que todos los demás números primos son impares, una de las dos sumas p + q y r + s también sería impar, pero ambas son pares. Examinemos la ecuación p + q = r + s. Podemos reescribir esto como p – r = s – q, y dado que todos los términos son impares, ambas diferencias son pares y = 2m para algún entero m. (Vea la nota abajo.)

Entonces, si hay tales primos, sus diferencias por pares deben ser pares y positivas. El número natural par más pequeño es 2; y, de hecho, hay muchos pares de “primos gemelos”, es decir, números primos que difieren solo en 2, o equivalente, que son números naturales impares consecutivos. Dos ejemplos convenientes y pequeños son los pares (5, 7) y (11, 13). Tome p = 7, q = 11, r = 5 y s = 13. Entonces p – r = 2 = s – q. Además, p + q = 18 = r + s. Acabamos de demostrar que el número par 18 es la suma de dos pares primos distintos, (5, 7) y (11, 13) . De hecho, es la suma de dos pares primos gemelos distintos.

Esto es lo que se llama una prueba constructiva , ya que mostramos que la afirmación es verdadera al construir un ejemplo específico.

(*) Si por casualidad m es negativo, podemos intercambiar las etiquetas p y r, y también las etiquetas s y q, de modo que p – r = s – q = 2m ahora es positivo, ym es un número natural. Para ver que esto es posible, simplemente multiplique la ecuación p – r = s – q a través de -1 en ambos lados, o de manera equivalente, reste 4m = 2m + 2m = (p – r) + (s – q) de ambos lados; el resultado será = 2m – 4m = -2m = 2 (-m), lo cual es positivo ya que la m original fue negativa.

Answer 2

Estoy seguro de que hay muchos números que se ajustan a esta descripción, pero hay formas de facilitar su búsqueda. Primero, a menos que uno de los números primos usados ​​en la suma sea dos, cada suma de dos números primos dará como resultado un número entero par. Todo lo que tiene que hacer es elegir dos números primos al azar (p1 y p2) y sumar 1 a p1 y -1 a p2. Si p1 o p2 no son primos, repita con 2 y -2, o cambiando el +1 y -1, continuando hasta que encuentre una coincidencia. Por ejemplo, tome 17 y 7, sumando 6 al 7 y restando 6 de 17 da dos números primos, 13 y 11. El número entero n es la suma de cualquier conjunto de primos, 17 + 7 u 11 + 13, que en este el caso es 24.

Answer 3

No, no puedo demostrar que exista un número entero n que pueda escribirse de dos maneras diferentes como una suma de dos primos distintos, pero puedo contradecir la afirmación de que no existe un número entero par que pueda escribirse en dos formas como una suma de dos números primos distintos, así que aquí va,

Para contradecir una declaración, solo necesitamos un ejemplo que no la siga, así que considere este número 20

20 = 17 + 3 = 13 + 7

Así que acabo de expresar 20 como una suma de dos primos distintos de dos maneras diferentes, por lo que contradice mi segunda afirmación y, por lo tanto, indirectamente demuestra que existe un número par n que puede expresarse como la suma de dos primos distintos de dos maneras diferentes.

Gracias por hacer esta pregunta.

Que tengas un gran día:)