Definimos la raíz cuadrada de menos -1 como I y esto abrió todo un campo de análisis. ¿Por qué no podemos definir ln -1 como una constante como j y aumentar de manera similar el alcance de las matemáticas?

Answer 1

Porque,

El logaritmo es solo una transformación.

Transforma la multiplicación en suma. Al igual que otras transformaciones (que transforman las señales del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo y viceversa) como las transformadas de Fourier, las transformaciones de Laplace, las transformaciones z, etc.

Los logaritmos facilitan los cálculos, pero el logaritmo no es un operador básico. Es solo una variación de la multiplicación.

Ejemplo:

Deje, z = x * y;

=> log (z) = log (x) + log (y);

=> z = antilog (log (x) + log (y));

Aquí, el logaritmo actuó como una transformación y nos ayudó a encontrar z, sin hacer la multiplicación real.

Piense en las computadoras; la multiplicación real de valores grandes puede provocar desbordamientos.

Incluso podemos usar tablas de logaritmos, con la ayuda de las cuales podemos calcular cualquier multiplicación sin multiplicar realmente.

Mientras que los números imaginarios son una extensión de la operación-multiplicación (y la suma también, ya que la multiplicación es una suma sucesiva). Esta fue una extensión real del dominio de los operadores aritméticos.

Entonces no estaríamos extendiendo las fronteras de las matemáticas si definimos ln (-1) = j.

Answer 2

Los números complejos son lo suficientemente completos como para tener una extensión razonable de logaritmo.
Esto se debe a que exp (z) pasa por -1 varias veces. Como exp tiene un período de 2pi i, su inverso tomará múltiples valores. Tal como lo hace arcsin porque el pecado es periódico. Puede asignar uno de esos valores como el valor principal de la función. Por ejemplo log (-1) = pi i.
Entonces, incluso si introduce aj, se comportará de manera muy similar a pi i = j. Pero dado que diferentes valores de j tendrían sentido, sería más caótico tener un campo basado en la definición de j que en la definición de i.
Alternativamente, es posible que pueda referirse a todos ellos como un solo j e imaginarlo como una superficie de reimann cilíndrica S1 x R. Se podría decir que yo produce un plano yj produce un cilindro infinito.

Answer 3

Puede ser porque ya existe y es igual a

ln (exp (-i * pi / 2)) = -i * pi / 2

(Usando el teorema de Eulers)