¿Cuál es el resto cuando 2 ^ 30 + 3 ^ 40 + 5 ^ 60 + 6 ^ 70 + 8 ^ 80 se divide por 7?

Answer 1

Analicemos cada uno de los términos de forma independiente antes de sumarlos juntos:

• [matemáticas] 2 ^ {30} [/ matemáticas]: Sabemos que [matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas], y que [matemáticas] 8 \ equiv 1 \ (mod \ 7) [/ matemáticas]. Como [matemáticas] 2 ^ {30} = (2 ^ 3) ^ {10} = 8 ^ {10} [/ matemáticas], tenemos que [matemáticas] 2 ^ {30} \ equiv 8 ^ {10} \ equiv 1 ^ {10} \ equiv 1 \ (mod \ 7) [/ math].
• [matemáticas] 3 ^ {40} [/ matemáticas]: Podemos usar los hechos que [matemáticas] 9 = 3 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9 \ equiv 2 \ (mod \ 7) [/ matemáticas]. Tenemos [matemáticas] 3 ^ {40} \ equiv 9 ^ {20} \ equiv 2 ^ {20} \ equiv 2 ^ {18} * 2 ^ 2 \ equiv 4 * (2 ^ 3) ^ 6 \ equiv 4 \ (mod \ 7) [/ math].
• [matemática] 5 ^ {60} [/ matemática]: como [matemática] 5 \ equiv -2 \ (mod \ 7) [/ matemática], tenemos: [matemática] 5 ^ {60} \ equiv (-2) ^ {60} \ equiv 2 ^ {60} \ equiv (2 ^ {30}) ^ 2 \ equiv 1 ^ 2 \ equiv 1 \ (mod \ 7) [/ math]
• [matemáticas] 6 ^ {70} [/ matemáticas]: porque [matemáticas] 6 \ equiv – 1 \ (mod \ 7) [/ matemáticas], podemos escribir: [matemáticas] 6 ^ {70} \ equiv (-1 ) ^ {70} \ equiv 1 \ (mod \ 7) [/ math]
• [matemáticas] 8 ^ {80} [/ matemáticas]: Finalmente, [matemáticas] 8 \ equiv 1 \ (mod \ 7) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 8 ^ {80} \ equiv 1 ^ {80} \ equiv 1 \ (mod \ 7) [/ math].

La suma de los restos es [matemática] 1 + 4 + 1 + 1 + 1 [/ matemática], lo que nos da [matemática] 8 [/ matemática]. Finalmente, [math] 8 \ equiv 1 \ (mod \ 7) [/ math], que es la respuesta buscada.

Answer 2

7 es un número primo impar. entonces, consideremos N = 7–1 = 6, o, N / 2 = 3.

[matemáticas] 2 ^ 3 \ equiv 1 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 3 \ equiv -1 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ 3 \ equiv (-2) ^ 3 \ equiv -1 \ mod 7 [/ matemáticas]

entonces tenemos

[matemáticas] 2 ^ {30} \ equiv (2 ^ 3) ^ {10} \ equiv 1 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ {40} \ equiv (3 ^ 3) ^ {13} \ veces 3 \ equiv -3 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ {60} \ equiv (5 ^ 3) ^ {20} \ equiv 1 \ mod 7 [/ matemáticas]

y el resultado es

[matemáticas] 1 + (- 3) +1 + (- 1) ^ {70} + 1 = 1 \ mod 7 [/ matemáticas]