¿Hay un número que cumpla los siguientes criterios: cuando se divide entre 2, 3, 4, 5 y 6, el resto es 1 y es divisible por 7?

Answer 1

Primero podemos

formule el problema de la siguiente manera: ¿Hay algún número [matemático] x [/ matemático] satisfecho con las siguientes ecuaciones de congruencia:

[matemáticas] x \ equiv 1 mod 2 \\ x \ equiv 1 mod 3 \\ x \ equiv 1 mod 4 \\ x \ equiv 1 mod 5 \\ x \ equiv 1 mod 6 \\ x \ equiv 0 mod 7 [ /matemáticas]

Para juzgar si hay una solución, podemos usar el Teorema del resto chino [1]. Pero el teorema requiere que los divisores sean coprimos por pares. Puede reducir fácilmente el sistema de ecuaciones de congruencia a

[matemáticas] x \ equiv 1 mod 60 \\ x \ equiv 0 mod 7 [/ matemáticas]

o reducirlo por pares. Para resolver el sistema de ecuación de congruencia reducida, puede probar el conjunto [matemáticas] {60 n + 1, n = 1,2,3,4,5, …} [/ matemáticas]

para encontrar un número que se pueda dividir por 7. O simplemente puede usar Computational Knowledge Engine e ingresar

  ChineseRemainder [{1,0}, {60,7}]

para obtener 301. Luego, según el Teorema del resto chino, {[math] 420 n + 301, n es cualquier número entero} [/ math] es la solución.

Notas al pie

[1] Teorema del resto chino – Wikipedia

Answer 2

Bueno, no hay un número sino infinitos que satisfagan este criterio.

Entonces, veamos cómo resolverlo.

Tome el MCM (mínimo común múltiplo) de los números 2,3,4,5,6. Sale a ser 60.

Agregue 1 a 60 porque necesitamos el resto 1 cada vez que se divide 2,3,4,5,6. Entonces, 61 es el primer número. Tenga en cuenta que cualquier número de la forma 60K + 1 satisfará los criterios, donde K es cualquier número entero positivo.

Nuestro trabajo es encontrar los valores de K de tal manera que 60K + 1 se divida por 7.

Entonces comience a poner K = 1,2,3 …… y verifica. En k = 5, el número es 301 que está completamente dividido por 7.

Entonces, nuestro primer número es 301. Para encontrar el siguiente número en la serie, incremente el valor de K en 7 cada vez, ya que 7 es un número primo. Para hacer que el resto sea 0, necesitamos multiplicar el número en múltiplos de 7. El siguiente será en K = 12

Entonces la secuencia de números será 301,721,1141,1561, ……… .. y así sucesivamente.

¡¡Salud!!

Answer 3

Gracias por el A2A!

Primero, tome el MCM de 2, 3, 4, 5 y 6:

[math] \ operatorname {mcm} (2,3,4,5,6) = 60 [/ math]

Entonces, [math] 60n + 1 [/ math] donde [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math] cumple con el primer requisito, pero también debe ser divisible por 7. Enchufar valores para [math] n [/ math] eventualmente conducirá a [math] n = 5 [/ math] que es divisible por 7:

[matemáticas] 60 (5) + 1 = 300 + 1 = 301 [/ matemáticas]

Entonces tenemos nuestra respuesta, [matemáticas] 301 [/ matemáticas].

Answer 4

Cualquier número de la forma [matemáticas] 60m + 1 [/ matemáticas] satisface los criterios restantes y cualquier número de la forma [matemáticas] 7n [/ matemáticas] satisface los criterios de división. Establezca [matemáticas] 60m + 1 = 7n. [/ Matemáticas] Es más revelador escribir [matemáticas] n = 8m + \ dfrac {4m + 1} {7}. [/matemáticas]

Mediante la inspección [matemática] m = 5 [/ matemática] funciona, por lo que uno de esos números que busca es 301.

Para encontrarlos, usa [matemáticas] m = 5 + 7k. [/matemáticas]

Answer 5

Un número dividido entre 2,3,4,5 y 6, entonces el resto es 1.

Primero tome LCM 2,3,4,5 y 6

LCM = 2 * 2 * 3 * 5 = 60

Entonces Número = 60 + 1

Pero según la pregunta, el número es divisible por 7

Entonces finalmente número = 60n + 1

Donde n = número natural (1,2,3,4 …….)

De acuerdo a la pregunta

(60n + 1) / 7

N = 1,2,3, o 4 puesto entonces número no divisible por 7

Finalmente pones 5 y luego divisible. Es tu respuesta correcta.

Entonces número = 60 * 5 + 1 = 300 + 1 = 301

Answer 6

Si. Hay infinitos números de este tipo.

Un número que es divisible por 2, 3, 4, 5 y 6 debe contener la factorización prima de cada divisor.

2, 3, (2 × 2), 5 y (2 × 3) deben encontrarse en la factorización prima de un número que es divisible por todos estos.

2 × 2 × 3 × 5 = 60 los contiene a todos. Y cualquier múltiplo de 60 también divide todos los mismos factores.

Si uno más que cualquier múltiplo de 60 es un múltiplo de 7, ese es el número que cumple con sus criterios.

1 × 60 + 1 = 61. Falla. 5 mod 7

2 × 60 + 1 = 121. Falla. 2 mod 7

3 × 60 + 1 = 181. Falla. 6 mod 7

4 × 60 + 1 = 241. Falla. 3 mod 7

5 × 60 +1 = 301 . PASS . 0 mod 7

El número 301 cumple los criterios.

Además, uno más que cada 7º múltiplo de 60 después del 5º múltiplo, 300, funcionará.

12 × 60 + 1 = 721

19 × 60 + 1 = 1141

26 × 60 + 1 = 1561

Y la secuencia de todos los números para cumplir con sus criterios, con 301 designado como primer término, se puede enumerar como:

[matemáticas] {a} _ {n} = 301 + 420 (n-1) [/ matemáticas]

O

[matemáticas] {a} _ {n} = 420n – 119 [/ matemáticas]

incluso los valores de n <1 funcionarán. Pruebe algunos y compruébelo usted mismo.

Answer 7

Fuerza bruta:

  #include 
 
 int main () {
	  int número = 0;
	  mientras que (1) {
		  if (número% 2 == 1 
		  && número% 3 == 1
		  && número% 4 == 1
		  && número% 5 == 1
		  && número% 6 == 1
		  && número% 7 == 0) descanso;
		  número ++;
	  }
	  printf ("% d \ n", número);
  } // resultado: 301

Answer 8

120. 4, t y 6 dividen 120, pero 7 en 120 deja el resto de uno. Me pregunto si 120 es el número más pequeño.