¿Qué es [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] (el poder cero de cero)?

Answer 1

Este tema había sido previamente objeto de debate en la comunidad matemática hasta que Donald Knuth enderezó las cosas en 1992, por lo que es comprensible que persista cierta confusión, pero la convención moderna es definir [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas], por buena razón.

¿Qué significa [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática]? Tal vez le hayan enseñado que una potencia cero se calcula dividiendo una potencia [matemática] n [/ matemática] por una potencia [matemática] n [/ matemática] ([matemática] n> 0 [/ matemática]); eso no ayuda en el caso de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas], y lleva a algunas personas a asociar [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] con el cociente indefinido [matemáticas] \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00 [/ math]. Estas personas no se han dado cuenta de que [matemática] 0 ^ 2 [/ matemática] está perfectamente bien definida y no puede asociarse con el cociente indefinido [matemática] \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n } = \ tfrac00 [/ math]: no podemos probar nada al introducir una división por cero donde antes no existía ninguna.

Pero no necesitamos apelar a la división en absoluto:

• [matemáticas] 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0 [/ matemáticas],
• [matemáticas] 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0 [/ matemáticas],
• [matemáticas] 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0 [/ matemáticas],
• [matemáticas] 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1 [/ matemáticas].

Si le quito todas sus manzanas [matemáticas] n [/ matemáticas] veces ([matemáticas] n> 0 [/ matemáticas]), no le quedan manzanas; pero si le quito todas sus manzanas [matemáticas] 0 [/ matemáticas] veces, todavía tiene todas sus manzanas. Más concretamente, [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] es un caso del producto vacío , ¡como [matemática] 0! = 1 [/ matemáticas].

Entonces, ¿por qué tardó tanto en ser aceptado? El problema aparente es que la forma limitante [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es una forma indeterminada, en el sentido de que [matemáticas] \ textstyle \ lim_ {x \ a a} f (x) = \ lim_ {x \ a a} g (x) = 0 [/ math] no le da información * sobre el límite [math] \ textstyle \ lim_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} [/ math]: podría ser cualquier número real no negativo, [math] \ infty [/ math], o podría no existir, dependiendo de las funciones particulares. Esto pareció estar en conflicto con la simple intuición anterior durante más de un siglo. Pero la comprensión importante es que la forma limitante indeterminada [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no nos impide asignar una definición al valor [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] . No son el mismo objeto: la forma limitante [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] es solo una abreviatura del límite antes mencionado, y su indeterminación simplemente significa que la exponenciación no puede ser una función continua en cualquier vecindad de [matemática] (0 , 0) [/ matemáticas].

Esto no debería ser demasiado sorprendente: por ejemplo, [math] \ lfloor 0 \ rfloor [/ math] también es una forma indeterminada ([math] \ textstyle \ lim_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor [/ math ] no existe, [matemáticas] \ textstyle \ lim_ {x \ a 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] \ textstyle \ lim_ {x \ a 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 [/ math]), aún así escribimos [math] \ lfloor 0 \ rfloor = 0 [/ math] como valor.

Y ahora asignamos [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] el valor que es útil, que es [matemática] 1 [/ matemática]. ¿Por qué es útil? Porque nos permite manipular exponenciales sin agregar casos especiales .

• Si [math] \ textstyle p (x) = \ sum_ {n = 0} ^ d a_nx ^ n [/ math] es un polinomio , entonces [math] p (0) = a_0 [/ math] es su término constante— pero ni siquiera podemos escribir un polinomio de esta manera obvia a menos que [math] 0 ^ 0 = 1 [/ math]. Lo mismo ocurre con las series de potencia infinita, donde [math] d [/ math] se reemplaza por [math] \ infty [/ math].
• La evaluación de las series geométricas infinitas:
  [matemáticas] \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum_ { n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1 , \ end {split} [/ math]
  entonces [math] \ textstyle \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x} [/ math].
  es completamente válido (e incluso continuo) para [matemáticas] | x | <1 [/ matemática], incluso en [matemática] x = 0 [/ matemática], pero requiere [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática].
• El teorema binomial [matemáticas] (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k [/ matemáticas] se cumple incluso cuando [matemáticas] a = 0 [ / math] o [math] b = 0 [/ math], pero requiere [math] 0 ^ 0 = 1 [/ math].
• La regla de poder [matemáticas] \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} [/ matemáticas] ([matemáticas] n \ ne 0 [/ matemáticas]) se cumple incluso para [matemáticas] n = 1 [/ matemática] en [matemática] x = 0 [/ matemática], pero requiere [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática].
• La respuesta de Jack Huizenga da otro ejemplo: el número de funciones [matemáticas] f \ colon S \ to T [/ matemáticas] es [matemáticas] \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert} [/ matemáticas], pero solo si [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas].
• En la codificación numérica de la Iglesia de los naturales, la exponenciación es solo la aplicación de funciones, y [matemáticas] 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ Lambda x. X) (\ lambda f. \ Lambda x. X) = (\ lambda x . x) = 1 [/ matemáticas].

* El sentido en el que [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es una forma indeterminada es más débil que para otras formas indeterminadas. Para funciones analíticas complejas [math] f, g [/ math] con [math] \ textstyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = \ lim_ {x \ to a} g (x) = 0 [/ math ], siempre tenemos [math] \ textstyle \ lim_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1 [/ math], a menos que [math] f [/ math] sea idénticamente cero (en en cuyo caso el límite no existe).

Donald Knuth da básicamente esta misma respuesta en “Dos notas sobre notación” (1992, p. 6), junto con antecedentes históricos:

Sin embargo, el artículo de [Libri] [33] produjo varias ondas en aguas matemáticas cuando apareció originalmente, porque suscitó una controversia acerca de si [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] está definido. La mayoría de los matemáticos coincidieron en que [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas], pero Cauchy [5, página 70] había enumerado [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] junto con otras expresiones como [matemáticas] 0/0 [/ math] y [math] \ infty – \ infty [/ math] en una tabla de formas indefinidas. La justificación de Libri para la ecuación [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] estaba lejos de ser convincente, y un comentarista que firmó su nombre simplemente “S” se levantó al ataque [45]. August Möbius [36] defendió a Libri, presentando la razón de su antiguo profesor para creer que [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] (básicamente una prueba de que [matemáticas] \ textstyle \ lim_ {x \ a 0 ^ +} x ^ x = 1 [/ matemáticas]). Möbius también fue más allá y presentó una supuesta prueba de que [matemáticas] \ textstyle \ lim_ {x \ a 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 [/ matemáticas] siempre que [matemáticas] \ textstyle \ lim_ {x \ a 0 ^ +} f (x) = \ lim_ {x \ a 0 ^ +} g (x) = 0 [/ matemática]. Por supuesto, “S” preguntó [3] si Möbius sabía sobre funciones como [matemáticas] f (x) = e ^ {- 1 / x} [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = x [/ matemáticas ] (Y el artículo [36] se omitió silenciosamente del registro histórico cuando las obras recopiladas de Möbius finalmente se publicaron). El debate se detuvo allí, aparentemente con la conclusión de que [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] no debería definirse.

Pero no, no, ¡diez mil veces no! Cualquiera que quiera el teorema binomial
[matemáticas] \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} [/ matemáticas]
para mantener al menos un entero no negativo [matemática] n [/ matemática] debe creer que [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática], ya que podemos conectar [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática ] y = 1 [/ math] para obtener [math] 1 [/ math] a la izquierda y [math] 0 ^ 0 [/ math] a la derecha.

El número de asignaciones del conjunto vacío al conjunto vacío es [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática]. Tiene que ser 1.

Por otro lado, Cauchy tenía buenas razones para considerar [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] como una forma limitante indefinida, en el sentido de que el valor límite de [matemáticas] f (x) ^ {g (x)} [ / math] no se conoce a priori cuando [math] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] se acercan a [math] 0 [/ math] de forma independiente. En este sentido mucho más fuerte, el valor de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] está menos definido que, digamos, el valor de [matemáticas] 0 + 0 [/ matemáticas]. Tanto Cauchy como Libri tenían razón, pero Libri y sus defensores no entendían por qué la verdad estaba de su lado.

Answer 2

Disfruté esta respuesta de Pregúntale a un matemático
P: ¿A qué equivale 0 ^ 0 (cero elevado a la potencia cero)? ¿Por qué los matemáticos y los profesores de secundaria no están de acuerdo?

Estudiante inteligente:

¡Lo sé!

[matemáticas] x ^ {0} = x ^ {1-1} = x ^ {1} x ^ {- 1} = \ frac {x} {x} = 1 [/ matemáticas].

Ahora solo conectamos [math] x = 0 [/ math], ¡y vemos que cero a cero es uno!

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Estudiante más inteligente:

¡No, tu estas equivocado! No está permitido dividir por cero, lo que hizo en el último paso. Asi es como se hace:

[matemáticas] 0 ^ {x} = 0 ^ {1 + x-1} = 0 ^ {1} \ veces 0 ^ {x-1} = 0 \ veces 0 ^ {x-1} = 0 [/ matemáticas]

lo cual es cierto ya que cualquier cosa multiplicado por [matemáticas] 0 [/ matemáticas] es [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Eso significa que

[matemáticas] 0 ^ {0} = 0 [/ matemáticas].

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Estudiante más inteligente:

Eso tampoco funciona, porque si [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] entonces

[matemática] 0 ^ {x-1} [/ matemática] es [matemática] 0 ^ {- 1} = \ frac {1} {0} [/ matemática]

así que tu tercer paso también implica dividir por cero, ¡lo cual no está permitido! En cambio, podemos pensar en la función [matemática] x ^ {x} [/ matemática] y ver qué sucede cuando [matemática] x> 0 [/ matemática] se vuelve pequeña. Tenemos:

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} x ^ {x} = \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} \ exp (\ log (x ^ {x})) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} \ exp (x \ log (x)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ exp (\ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} x \ log (x)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ exp (\ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} \ frac {\ log (x)} {x ^ {- 1}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ exp (\ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} \ frac {\ frac {d} {dx} \ log (x)} {\ frac {d} {dx} x ^ {- 1 } } ) [/matemáticas]
[matemáticas] = \ exp (\ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} \ frac {x ^ {- 1}} {- x ^ {- 2}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ exp (\ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} -x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ exp (0) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Entonces, desde [math] \ textstyle \ lim_ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {x} = 1 [/ math], eso significa que [math] 0 ^ {0} = 1 [/ math].

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Profesor de instituto:

Mostrar que [matemática] x ^ {x} [/ matemática] se acerca a [matemática] 1 [/ matemática] ya que el valor positivo [matemática] x [/ matemática] se acerca arbitrariamente a cero no prueba que [matemática] 0 ^ { 0} = 1 [/ matemáticas]. La variable [math] x [/ math] que tiene un valor cercano a cero es diferente de tener un valor de exactamente cero. Resulta que [math] 0 ^ {0} [/ math] no está definido. [matemáticas] 0 ^ {0} [/ matemáticas] no tiene un valor.

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Profesor de cálculo:

Para todos [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] 0 ^ {x} = 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto,

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} 0 ^ {x} = 0 [/ matemáticas]

Es decir, como [matemática] x [/ matemática] se acerca arbitrariamente a [matemática] 0 [/ matemática] (pero sigue siendo positiva), [matemática] 0 ^ {x} [/ matemática] permanece en [matemática] 0 [/ matemáticas].

Por otro lado, para números reales y tales que [matemática] y \ ne 0 [/ matemática], tenemos que

[matemáticas] y ^ {0} = 1 [/ matemáticas].

Por lo tanto,

[matemáticas] \ lim_ {y \ a 0} y ^ {0} = 1 [/ matemáticas]

Es decir, como [matemática] y [/ matemática] se acerca arbitrariamente a [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] y ^ {0} [/ matemática] permanece en [matemática] 1 [/ matemática].

Por lo tanto, vemos que la función [matemáticas] f (x, y) = y ^ {x} [/ matemáticas] tiene una discontinuidad en el punto [matemáticas] (x, y) = (0,0) [/ matemáticas] . En particular, cuando nos acercamos a [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas] a lo largo de la línea con [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] \ lim_ {y \ a 0} f (0, y) = 1 [/ matemáticas]

pero cuando nos acercamos a [matemática] (0,0) [/ matemática] a lo largo del segmento de línea con [matemática] y = 0 [/ matemática] y [matemática] x> 0 [/ matemática] obtenemos

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} f (x, 0) = 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto, el valor de [math] \ textstyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} y ^ {x} [/ math] dependerá de la dirección en la que tomemos el límite. Esto significa que no hay forma de definir [matemáticas] 0 ^ {0} [/ matemáticas] que hará que la función [matemáticas] y ^ {x} [/ matemáticas] sea continua en el punto [matemáticas] (x, y) = (0,0) [/ matemáticas].

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Matemático: Cero elevado a la potencia cero es uno. ¿Por qué? Porque los matemáticos lo dijeron. No realmente, es verdad.

Consideremos el problema de definir la función [matemática] f (x, y) = y ^ x [/ matemática] para enteros positivos [matemática] y [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática]. Hay una serie de definiciones que dan resultados idénticos. Por ejemplo, una idea es usar para nuestra definición:

[matemáticas] y ^ x: = 1 \ veces y \ veces y \ cdots \ veces y [/ matemáticas]

donde [math] y [/ math] se repite [math] x [/ math] veces. En ese caso, cuando [math] x [/ math] es uno, [math] y [/ math] se repite solo una vez, por lo que obtenemos

[matemáticas] y ^ {x} = 1 \ veces y [/ matemáticas].

Sin embargo, esta definición se extiende de forma bastante natural desde los enteros positivos a los enteros no negativos, de modo que cuando [math] x [/ math] es cero, [math] y [/ math] se repite cero veces, dando

[matemáticas] y ^ {0} = 1 [/ matemáticas]

que vale para cualquier [matemática] y [/ matemática]. Por lo tanto, cuando [math] y [/ math] es cero, tenemos

[matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

¡Mira, acabamos de demostrar que [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]! Pero esto es solo para una posible definición de [matemáticas] y ^ x [/ matemáticas]. ¿Qué pasa si usamos otra definición? Por ejemplo, supongamos que decidimos definir [matemáticas] y ^ x [/ matemáticas] como

[matemáticas] y ^ x: = \ lim_ {z \ to x ^ {+}} y ^ {z} [/ matemáticas].

En palabras, eso significa que el valor de [math] y ^ x [/ math] es lo que se acerque [math] y ^ z [/ math] a medida que el número real [math] z [/ math] se hace cada vez más pequeño valor [matemática] x [/ matemática] arbitrariamente de cerca.

[ Aclaración: un lector preguntó cómo es posible que podamos usar [matemáticas] y ^ z [/ matemáticas] en nuestra definición de [matemáticas] y ^ x [/ matemáticas], lo que parece ser recursivo. La razón por la que está bien es porque estamos trabajando aquí solo con [math] z> 0 [/ math], y todos están de acuerdo sobre lo que [math] y ^ z [/ math] es igual en este caso. Esencialmente, estamos utilizando los casos conocidos para construir una función que tenga un valor para el caso más difícil [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] y = 0 [/ matemática].]

Curiosamente, usando esta definición, tendríamos

[matemáticas] 0 ^ 0 = \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} 0 ^ {x} = \ lim_ {x \ a 0 ^ {+}} 0 = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, encontraríamos que [matemáticas] 0 ^ 0 = 0 [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. De acuerdo, esta definición que acabamos de usar parece bastante poco natural, pero está de acuerdo con la noción de sentido común de lo que [matemática] y ^ x [/ matemática] significa para todos los números reales positivos [matemática] x [/ matemática] y [ matemática] y [/ matemática], y conserva la continuidad de la función a medida que nos acercamos a [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] y = 0 [/ matemática] a lo largo de una línea determinada.

Entonces, ¿cuál de estas dos definiciones (si alguna de ellas) es correcta? ¿Qué es realmente [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas]? Bueno, para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y> 0 [/ matemáticas] sabemos lo que queremos decir con [matemáticas] y ^ x [/ matemáticas]. Pero cuando [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas], la fórmula no tiene un significado obvio. El valor de [math] y ^ x [/ math] dependerá de nuestra elección preferida de definición de lo que queremos decir con esa afirmación, y nuestra intuición acerca de lo que [math] y ^ x [/ math] significa para valores positivos no es suficiente para concluir lo que significa para valores cero.

Pero si este es el caso, ¿cómo pueden los matemáticos afirmar que [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]? Bueno, simplemente porque es útil hacerlo. Algunas fórmulas muy importantes se vuelven menos elegantes para escribir si en su lugar usamos [matemáticas] 0 ^ 0 = 0 [/ matemáticas] o si decimos que [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] no está definido. Por ejemplo, considere el teorema binomial, que dice que:

[matemáticas] (a + b) ^ x = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ binom {x} {k} a ^ kb ^ {xk} [/ matemáticas]

donde [math] \ tbinom {x} {k} [/ math] significa los coeficientes binomiales.

Ahora, estableciendo a = 0 en ambos lados y suponiendo [matemática] b \ ne 0 [/ matemática] obtenemos

[matemáticas] b ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] = (0 + b) ^ x = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ binom {x} {k} 0 ^ kb ^ {xk} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {x} {0} 0 ^ 0 b ^ {x} + \ binom {x} {1} 0 ^ 1 b ^ {x-1} + \ binom {x} {2} 0 ^ 2 b ^ {x-2} + \ cdots [/ math]
[matemáticas] = \ binom {x} {0} 0 ^ 0 b ^ {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 0 ^ 0 b ^ {x} [/ matemáticas]

donde, he usado que [matemáticas] 0 ^ k = 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] k> 0 [/ matemáticas], y que [matemáticas] \ tbinom {x} {0} = 1 [/ matemáticas] . Ahora, resulta que el lado derecho tiene el factor mágico [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, si no usamos [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] entonces el teorema binomial (como está escrito) no se cumple cuando [matemática] a = 0 [/ matemática] porque entonces [matemática] b ^ x [ / math] no es igual a [math] 0 ^ 0 b ^ {x} [/ math].

Si los matemáticos usaran [matemática] 0 ^ 0 = 0 [/ matemática], o decir que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no está definida, entonces el teorema binomial continuaría siendo válido (de alguna forma) no como está escrito arriba. En ese caso, el teorema sería más complicado porque tendría que manejar el caso especial del término correspondiente a [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas]. Ganamos elegancia y simplicidad usando [math] 0 ^ 0 = 1 [/ math].

Hay algunas razones adicionales por las que es preferible usar [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas], pero se reducen a que esa elección sea más útil que las alternativas, lo que lleva a teoremas más simples o se siente más “natural” para los matemáticos . La elección no es “correcta”, es simplemente agradable.

Answer 3

[matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] representa diferentes cosas en diferentes situaciones. Voy a esbozar dos de ellos.

Como una forma como se ve en el análisis

Cuando tiene un límite, [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}, [/ math] donde ambos [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = 0 [/ math] y [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} g (x) = 0, [/ math] luego dices que el límite original, [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}, [/ math] tiene la forma [math] 0 ^ 0. [/ math] Esa forma es una de las formas indeterminadas. Es indeterminado ya que no se puede saber cuál será el valor de los límites originales solo por el hecho de que [math] f [/ math] y [math] g [/ math] se acercan a 0.

Eso no significa que el límite original no tenga un valor específico; generalmente lo hace.

Como forma, [math] 0 ^ 0 [/ math] es indeterminado.

Como una expresión algebraica

La expresión [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] no tiene que surgir como límite, pero podría surgir de otras maneras. Un ejemplo ocurre en la notación de suma. Tomemos, por ejemplo, la identidad

[matemáticas] 1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ n = \ dfrac {1-x ^ {n + 1}} {1-x} [/ matemáticas]

que es válido para todos los valores de [matemática] x [/ matemática] excepto [matemática] x = 1. [/ matemática]

Esa identidad está escrita en notación sumatoria como

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x} [/ matemáticas]

donde se entiende que el primer término [matemáticas] x ^ 0 [/ matemáticas] significa el primer término 1. Como se supone que esta identidad se cumple para todos los valores de [matemáticas] x [/ matemáticas] excepto [matemáticas] x = 1, [/ math] entonces, en particular, se mantiene para 0. Eso significa que para afirmar la identidad usando la notación de suma, ha asumido que [math] 0 ^ 0 = 1. [/ math]

Una forma de lidiar con eso es simplemente decir que cada vez que [math] x ^ 0 [/ math] ocurre en una suma, entonces cuando [math] x = 0 [/ math] reemplaza formalmente [math] x ^ 0 [/ matemáticas] por 1. Esa es una solución incómoda, pero funciona. Alternativamente, podría especificar que [math] 0 ^ 0 [/ math] tiene el valor 1 como una expresión algebraica. Esta solución alternativa se ha vuelto más aceptada en las últimas décadas.

Por lo tanto, como una expresión algebraica [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] puede definirse como 1.

Vea las respuestas de Anders Kaseorg y Jack Huizenga para más ejemplos. Tenga en cuenta también que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] puede interpretarse como un producto vacío, una situación algebraica más general en la que el valor se puede considerar convenientemente como 1.

Answer 4

Para enteros no negativos ayb, [math] a ^ b [/ math] es igual al número de funciones del conjunto de elementos ab a un conjunto de elementos a. La función vacía es una función del conjunto vacío a un conjunto de elementos, por lo que [math] a ^ 0 = 1 [/ math], incluso cuando a = 0. Por otro lado, no hay una función desde un conjunto con elementos b> 0 hasta el conjunto vacío, por lo que [math] 0 ^ b = 0 [/ math] para b positivo.

Answer 5

Esta pregunta se sigue haciendo. Las personas necesitan aprender a buscar si ya se ha hecho una pregunta; de ser así, mire la respuesta ya existente en lugar de pedir más.

La respuesta no es tan simple como muchas personas suponen que le gustaría, pero aquí hay un resumen algo rápido:

La respuesta no depende del contexto de la base: enteros, racionales, reales, complejos, cuaterniones. Sin embargo, la respuesta depende del contexto del exponente.

Si solo se consideran los exponentes enteros, la respuesta es inequívocamente 1. Esto se debe al principio de operación nular aplicado a la multiplicación. Si se encuentra el producto de números cero, la respuesta es la identidad multiplicativa, que es 1. ¡Esta es la razón fundamental por la que 0! es 1 y que [matemática] x ^ 0 [/ matemática] es 1, independientemente del valor de x (sin restricción, se permite 0). Esto resulta muy útil para expresar y manipular series de potencia y polinomios cuando la variable puede ser 0, el teorema binomial, el número de funciones distintas del conjunto vacío al conjunto vacío, y varias otras aplicaciones importantes donde tener 0⁰ no está definido o cualquier un valor distinto de 1 causaría todo tipo de estragos.

Si se consideran exponentes racionales o reales, la historia es más complicada. Algunas aplicaciones de [math] x ^ y [/ math], especialmente en análisis reales, necesitan tener [math] x ^ y [/ math] continuo. Desafortunadamente, el valor de [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas] cuando x e y se acercan a 0 puede acercarse a cualquier valor dependiendo de la ruta de ( x ; y ) que se aproxima al origen, por lo que el límite no existe, lo que significa que la continuidad falla en (0; 0). Los matemáticos que lo consideran un problema grave generalmente tratan el 0⁰ como indefinido. Los matemáticos que consideran que tal continuidad no es importante, pero una función que tiene una definición similar en un contexto de superconjunto como en un contexto de subconjunto como crítica dirá que dado que 0⁰ = 1 para exponentes enteros, 0⁰ debe ser 1 para exponentes racionales y reales porque 0 es 0 es 0 y todos los enteros son números racionales y todos los números racionales son reales, entonces, ¿por qué debería 0 en el contexto de los números reales comportarse de manera diferente a 0 en el contexto de los enteros? Por cierto, la raíz cúbica [principal] de −8 es −2 en el contexto de los reales, pero 1 + i√3 en el contexto de números complejos: a algunos matemáticos les disgusta tanto esta discrepancia que “exigen” que el La raíz cúbica de los números negativos en el contexto de los reales no está definida, por lo que 0⁰ no es la única situación que genera desafortunados conflictos e inconsistencias, con diferentes matemáticos que adoptan diferentes enfoques para resolver esos conflictos. Mi propio enfoque es considerar 0⁰ como 1, independientemente del contexto, a menos que la falta de continuidad cause mucha dificultad para expresar, probar y aplicar teoremas.

Ahora, hay dos líneas principales de argumento que algunas personas arrojarán como una granada al flujo de discusión, pero ambas líneas de argumento son totalmente irrelevantes.

El primero implica el uso de una supuesta ley de división de poderes: [matemáticas] b ^ {mn} = b ^ m / b ^ n [/ matemáticas], usando [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] m = n = 1 [/ matemáticas]. En tal caso, 0⁰ = 0¹ / 0¹ = 0/0, que no está definido, por lo que el lado izquierdo, es decir, 0⁰ debe estar indefinido. ¿Notó mi uso de la palabra “supuesta”. [matemáticas] b ^ {mn} = b ^ m / b ^ n [/ matemáticas] no es una ley de poderes. Existe una ley de división de poderes con una base común, pero no es incondicional: tiene restricciones que con demasiada frecuencia se ignoran. En particular, esta ley de división de poderes no se cumple cuando se trata de una división por 0. Por lo tanto, si b es 0 y cualquiera de m – n , m , o n es negativo, esta ley de división de poderes no se cumple; igualmente si b es 0 yn es positivo. La igualdad no tiene sentido si un lado u otro no está definido, eso no hace que el otro lado esté indefinido. Puedo usar la misma técnica para demostrar que 0³ no está definido: 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, que no está definido en el lado derecho, por lo que el lado izquierdo debe estar indefinido, lo cual no es cierto, y tampoco lo es cierto para el caso 0⁰.

0⁰ es una forma indeterminada o, estrechamente relacionada [matemática] x ^ y [/ matemática] ya que x e y el enfoque 0 no tiene un límite. La pregunta original publicada pedía el valor de 0⁰ en sí mismo, no un valor límite. Los instructores de cálculo introductorio tienen dificultades excesivas para comunicar a los estudiantes que los siguientes son dos conceptos totalmente independientes:
1. el valor de una función en un punto;
2. el valor límite de una función cuando se aborda ese mismo punto.
Cualquiera de estos puede existir y el otro no; ambos pueden existir pero tienen valores diferentes; o ninguno puede existir. La pregunta publicada pertenece al concepto 1; los límites tratan con el concepto 2. La respuesta en relación con el concepto 2 para cualquier función particular no tiene nada que ver con la respuesta para el concepto 1 para la misma función en el mismo punto. Entonces, ¿qué es lo que el límite de [matemáticas] x ^ y [/ matemáticas] no existe cuando x e y ambos se acercan a 0? Eso no tiene nada que ver con si 0⁰ se define como una expresión independiente (no limitante). Además, los límites no se aplican con respecto al exponente en el contexto de exponentes enteros; los límites no tienen sentido en el contexto de los enteros.

Answer 6

Repasemos dos reglas de las matemáticas:

• 0ⁿ = 0

• cero a cualquier potencia es igual a cero

nº = 1

• cualquier número a la potencia cero es igual a uno

¿Ves el conflicto?

• Dependiendo de la ley que use, 0º tiene DOS VALORES DIFERENTES

Es por eso que decimos que 0º es indeterminado, y por qué la mayoría de las calculadoras generarán un mensaje de error (vea la última imagen a continuación para ver un ejemplo).

¿Qué significa el ENFOQUE de valor?

En Cálculo , aprenderá que nⁿ (n a la potencia n [matemática] ^ {th} [/ matemática]) se acerca a UNO cuando n se acerca a cero, pero SOLO cuando n se acerca a cero DESDE LA DERECHA .

Si tiene una calculadora gráfica, puede ilustrar esto graficando

Lo anterior fue graficado en una calculadora gráfica Texas Instruments TI-84 PLUS CE

Como puede ver, NO TIENE VALOR cuando X es igual a cero, pero desde la derecha, la línea se acerca al punto Y = 0.

También puede ilustrar que el valor se acerca más y más a UNO escribiendo números que se acercan a cero:

¿PERO qué pasa si X se acerca a cero DESDE LA IZQUIERDA?

Es más difícil forzar a una calculadora a mostrar un número negativo a una potencia negativa. Aquí hay una forma de hacerlo.

1. Establezca Z = 9999 (un número impar grande)
2. Escriba la función Y1 = ( int (X) / Z) ^ ( int (X) / Z)
3. Grafícalo con los límites de VENTANA apropiados

Como puede ver, con VALORES NEGATIVOS DE X, el valor [matemática] x ^ {x} [/ matemática] se acerca tanto a –1 como a +1, por lo que según las reglas de cálculo, el límite, cuando x se aproxima a cero, de [ matemáticas] x ^ {x} [/ matemáticas], NO EXISTE porque hay dos límites diferentes que se abordan.

Answer 7

En la mayoría de los entornos que no implican continuidad en el exponente, interpretar [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] como 1 simplifica las fórmulas y elimina la necesidad de casos especiales en los teoremas. (Consulte el siguiente párrafo para conocer algunas configuraciones que implican continuidad). Por ejemplo:

• Con respecto a b ^ 0 como un producto vacío, se le asigna el valor 1, incluso cuando b = 0.
• La interpretación combinatoria de [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] es el número de tuplas vacías de elementos del conjunto vacío. Hay exactamente una tupla vacía.
• De manera equivalente, la interpretación teórica de conjuntos de 00 es el número de funciones del conjunto vacío al conjunto vacío. Hay exactamente una de esas funciones, la función vacía.
• La notación
  para polinomios y series de potencia, confíe en definir [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] = 1.
• Identidades como
  
• y
  y el teorema binomial
  no son válidos para x = 0 a menos que 00 = 1.
• En cálculo diferencial, la regla del poder
  no es válido para n = 1 en x = 0 a menos que [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] = 1.

Entonces, [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] = [matemáticas] 1 [/ matemáticas]

Answer 8

¿Es igual a 1 o no está definido? En realidad se considera “indeterminado”.

El consenso matemático común es 0 ^ 0 = 1. Un artículo útil que lo discute se encuentra aquí: http://mathforum.org/dr.math/faq …

Para todos los números reales (excepto 0), x ^ 0 = 1. Entonces, probablemente sea justo suponer que 0 ^ 0 también debería ser igual a uno.

Calcule una serie de potencias para x ^ x.
4 ^ 4 = 256
3 ^ 3 = 27
2 ^ 2 = 4
1 ^ 1 = 1
0.9 ^ 0.9 = 0.909
0.5 ^ 0.5 = 0.707
0.1 ^ 0.1 = 0.794
0.01 ^ 0.01 = 0.955
0.001 ^ 0.001 = .993
0.0001 ^ 0.0001 = 0.999

Esto muestra que cuando x se acerca a 0 (desde el lado positivo), la potencia x ^ x se acerca a 1. Esto apoya la idea de que 0 ^ 0 = 1.

Pero … Considere el significado de exponentes negativos (cociente implícito), 5 ^ -1 = 1/5, x ^ -1 = 1 / x. Puedo escribir una secuencia de cualquier número entero con potencias consecutivas. 5 ^ 1 = 5, 5 ^ 2 = 25, 5 ^ 3 = 125 … La secuencia es 5, 25, 125, 625, etc. Comenzando desde un valor y yendo hacia la izquierda, tendrías que dividir por 5.

El 25 es 125/5 = 125 (5 ^ -1) = (5 ^ 3) (5 ^ -1) = 5 ^ (3–1) = 5 ^ 2. Queda claro que ir a la izquierda un elemento, es tomar el exponente actual menos 1. Cuando llegas al exponente 0, obtienes 5 ^ 0 = (5 ^ 1) (5 ^ -1) = 5/5 = 1 .

Esto se desmorona con una base de 0. 0 ^ 1 = 0, 0 ^ 2 = 0, 0 ^ 3 = 0. Para comenzar en cualquier término, y luego ir a la izquierda, tendría que dividir por la base (0), pero no puede dividir por 0. Vale la pena señalar que CADA término en la secuencia exponencial para la base 0 es 0, 0 ^ x = 0, que distingue esta secuencia de cualquier otra secuencia de números reales. No puede pasar del enésimo término al término (n-1), porque son exactamente lo mismo.

Esto apoya la idea de que 0 ^ 0 = Indefinido.

Conclusión: la mayoría de las matemáticas ha decidido aceptar que 0 ^ 0 = 1. Si entiende las matemáticas lo suficiente como para comprender completamente la disputa, entonces probablemente esté muy por encima del promedio en sus habilidades matemáticas. Prestigio.

Answer 9

[matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es una forma indeterminada. Un límite en la forma [math] \ lim_ {x \ to 0} {f (x)} ^ {g (x)} [/ math], donde [math] f (x), g (x) \ to 0 [/ math] como [math] x \ to 0 [/ math], puede tomar cualquier valor entre 0 y 1 inclusive eligiendo [math] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ matemáticas].

Aunque a veces definimos [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática], porque simplifica las fórmulas. Por ejemplo, considere el teorema binomial

[matemáticas] (1 + x) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} x ^ k [/ matemáticas]

Si sustituimos [matemática] x = 0 [/ matemática], obtendremos [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática], entonces definimos [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] de esta manera, o tenemos hacer que [math] x = 0 [/ math] sea un caso especial del teorema binomial.

Vea el artículo de Wikipedia Exponentiation para más detalles.

Answer 10

Es 1 y tengo una buena razón. Para apreciar completamente esta respuesta, le recomiendo que revise algunos conceptos en álgebra lineal.

Imagine un conjunto de números reales con suma y multiplicación definidos de la siguiente manera:

[matemáticas]
\ vec {a} + \ vec {b} = a \ cdot b
[/matemáticas]
[matemáticas] \ alpha \ vec {a} = a ^ \ alpha [/ matemáticas]

donde [math] \ alpha [/ math] es el escalar real, [math] \ vec {a}, \ vec {b} [/ math] son vectores y a, b son los valores reales correspondientes. Según la definición anterior, el espacio satisfaría los axiomas del espacio vectorial (Ver Definición: Espacio vectorial), y yo le mostraría la prueba de algunos de ellos.

Se cierra bajo la multiplicación y suma definidas, ya que la multiplicación numérica y la exponenciación numérica devuelve números reales, que están en el conjunto.

La conmutatividad de la suma se satisface ya que [math] \ vec {a} + \ vec {b} = a \ cdot b = b \ cdot a = \ vec {b} + \ vec {a} [/ math].

…… (se pueden verificar más axiomas)

He aquí la parte complicada. Uno de los axiomas establece que debería existir un vector cero [math] \ vec {0} [/ math] , de modo que

[matemáticas] \ vec {a} + \ vec {0} = \ vec {a} [/ matemáticas]

Como la suma definida aquí es en realidad multiplicación, para satisfacer este axioma, el vector cero es, de hecho, el número real 1.
En otras palabras,

[matemáticas] \ vec {0} = 1 [/ matemáticas].

Sabrías más tarde por qué tengo que señalar esto …

Continúe con nuestro espacio vectorial, es un conjunto de números reales con escalares reales y operaciones definidas. Mirando desde los axiomas del vector básico, se puede probar el teorema de que para cualquier vector [matemática] \ vec {u} [/ matemática], [matemática] 0 \ vec {u} = \ vec {0} [/ matemática].

Si dejamos que [math] \ vec {u} = 0 [/ math], de acuerdo con el teorema,
[matemáticas] 0 \ vec {u} = 0 ^ 0 = \ vec {0} = 1 [/ matemáticas]. Esta debería ser la respuesta.

En cuanto a la prueba del teorema, lo guardaría para otro día cuando descubra cómo funciona el código de látex en Quora … Mis disculpas. Sin embargo, podrían intentarlo ustedes mismos.

Otra forma de probar el resultado es mediante la función de Ackermann, y luego usando la inducción estructural. Puede encontrar más información aquí Función Ackermann.

Answer 11

Espero que la imagen adjunta a continuación responda a su pregunta. La mayoría de las personas consideran 0 ^ 0 = 1 ya que piensan que las matemáticas lo definen de esa manera, pero no es seguro según muchas de las fuentes.

Fuente: brilliant.org

Answer 12

Permítanme presentar un argumento a favor de [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] que creo que no se ha mencionado en la discusión hasta ahora.

1) Las potencias con bases constantes reales y exponentes, como [math] 0 ^ 0 [/ math] , se representan formalmente mediante la multiplicación de constantes reales.

Esto es obvio para bases racionales y exponentes, por ejemplo:

[matemáticas] \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {1} {2}} = a \ Longleftrightarrow a ^ 2 = \ frac {1} {2} \ Longleftrightarrow a \ cdot a = \ frac {1} {2} [/ math]

Por lo tanto, lo mismo es cierto para las bases y exponentes irracionales, por ejemplo:

[matemáticas] \ pi ^ e = \ {3 ^ 2, 3.1 ^ {2.7}, 3.14 ^ {2.71}, 3.141 ^ {2.718}, 3.1415 ^ {2.7182}, 3.14159 ^ {2.71828},… \} [/ matemáticas ]

(dado que cada término de la secuencia real (Cauchy) anterior se representa mediante la multiplicación de constantes reales)

2) La multiplicación de constantes reales se basa en la multiplicación de enteros

P.ej:

π⋅e = {3, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159,…. } ⋅ {2, 2.7, 2.71, 2.718, 2.7182, 2.71828,…} =

{3⋅2, 3.14 ⋅ 2.71, 3.141 ⋅2.718, 3.1415 ⋅2.7182, 3.14159 ⋅2.71828,…} =

{6, 8.5094, 8.537238, 8.5392253, 8.5397212652, …}

¡Por lo tanto, la multiplicación de constantes reales se basa en la multiplicación de constantes racionales, que se basa en la multiplicación de enteros!

Por 1) y 2), se deduce que:

Las potencias con bases constantes reales y exponentes obtienen un valor basado en la multiplicación entera. Por lo tanto, la definición de potencias con bases constantes reales y exponentes depende de un nivel más fundamental que el análisis y los límites.

Answer 13

Agregaré que el límite de la función [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] como [matemáticas] x \ a 0 [/ matemáticas] es 1. Esto es igual a [matemáticas] \ exp \ left (x \ log x \ right) [/ math]. Ahora [math] \ exp (x) [/ math] es una función continua, entonces

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ exp \ left (x \ log x \ right) = \ exp \ left (\ lim_ {x \ to 0} \ left (x \ log x \ right) \ right) [/matemáticas]

Ahora [math] x \ log x = \ frac {\ log x} {1 / x} [/ math], donde tanto el numerador como el denominador divergen como [math] x \ a 0 [/ math] y así por L ‘ La regla de Hopital, su límite cuando [math] x [/ math] va a 0 es

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ log x} {1 / x} = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1 / x} {- 1 / x ^ 2} = \ lim_ {x \ a 0} (-x) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, dado que [math] exp (0) = 1 [/ math], el límite es 1.

Editar: Por supuesto, hay un caso muy especial, y Anders ha señalado que, en general, el límite [matemáticas] f (x) ^ {g (x)} [/ matemáticas], donde [matemáticas] f (x) [ / math] y [math] g (x) [/ math] ambos se acercan a 0 pero no son necesariamente lo mismo, no existe.

Answer 14

Dados dos enteros no negativos n y m, podemos definir n ^ m como el número de funciones de un conjunto de m elementos a un conjunto de n elementos.

¿Cuántas funciones hay del conjunto vacío al conjunto vacío? Hay uno. (Este hecho puede ser un poco confuso; vea los comentarios para obtener más detalles).

Por eso 0 ^ 0 = 1.

Answer 15

Esto depende de su interpretación del poder “zeroth”: desde un punto de vista de teoría / mapeo establecido que se mantiene bien para los números naturales (es decir, a ^ b es el número de mapas de elementos b a elementos) y luego 0 ^ 0 = 1 ya que hay un mapa único del conjunto vacío en sí mismo). Sin embargo, en el análisis, donde es posible que tenga que definir 0 ^ 0 como el límite de x ^ y como (x, y) -> (0,0) el límite es indeterminado ya que obtiene resultados diferentes dependiendo de la dirección de donde provenga .

Answer 16

Bueno, no sé por qué dijiste “cualquier cosa elevada a la potencia cero es cero ” porque cualquier cosa elevada a la potencia cero da 1 (o -1 para el número negativo).

Entonces la pregunta a tu respuesta

0 ^ 0 = 1

Pero estás haciendo una pregunta hipotética, entonces

Asumamos.

e ^ 0 = 0 (donde e es exponencial)

(Aplicando ln en ambos lados)

ln e ^ 0 = ln 0

0 × 1 = – [no se puede encontrar el símbolo para infinito: P]

Por lo tanto, 0 = – → iI

Ahora,

Deje, 0 ^ 0 = x

ln 0 ^ 0 = ln x

0 × – = x

[De la ecuación i]

– × – = x

Por lo tanto, x =

XD, PS, casi todo en esta derivación es contradictorio, puede verificar su presión arterial después de ver esto. 😉

Answer 17

En realidad, esta forma 0 ^ 0 en cálculo se toma como forma indeterminada.

Hay 7 formas indeterminadas estándar, es decir,

0/0, infinito / infinito, 0 * infinito, infinito – infinito, 0 ^ 0, 1 ^ (infinito)

Desde entonces, está preguntando acerca de la forma indeterminada, ya que el nombre sugiere que no están determinados, pero sus valores solo se pueden encontrar tendiendo (enfoques) al Límite y el valor también depende de cómo se acerque al límite

Un muy buen ejemplo que puedo darte es bronceado (@)

Como la función no está definida en múltiplo impar de π / 2.

Entonces, cuando te acercas al límite desde la derecha obtienes (+ infinito) y cuando te acercas desde la izquierda obtienes (- infinito)

En resumen, este es un formulario INDETERMINADO y no puede analizarlo con estos datos dados

Answer 18

0 ^ 0 = 1.

Puede verificar esto buscando en Google “0 ^ 0”

Es una respuesta muy larga de entender, de lo contrario, puede desplazarse hacia abajo para ver la explicación de la respuesta.

Nos enseñan que los exponentes son multiplicaciones repetidas. Esta es una buena introducción, pero se desglosa en 3 ^ 1.5 y el retorcido cerebro 0 ^ 0. ¿Cómo repites cero cero veces y obtienes 1?

No puedes, no mientras los exponentes sean multiplicaciones repetidas. Hoy nuestro modelo mental se debe actualizar.

Viendo la aritmética como transformaciones

Retrocedamos: ¿cómo aprendemos aritmética? Se nos enseña que los números son recuentos de algo (dedos), la suma es una combinación de recuentos (3 + 4 = 7) y la multiplicación es una suma repetida (2 veces 3 = 2 + 2 + 2 = 6).

La suma repetida funciona cuando se multiplica por números redondos agradables como 2 y 10, pero no cuando se usan números como -1 y sqrt (2). ¿Por qué?

Nuestro modelo estaba incompleto. Los números no son solo un recuento; Un mejor punto de vista es una posición en una línea . Esta posición puede ser negativa (-1), entre otros números (sqrt (2)) o en otra dimensión (i).

La aritmética se convirtió en una forma de transformar un número: la suma se deslizaba (+3 significa deslizar 3 unidades hacia la derecha), y la multiplicación se escalaba (por 3 significa escalar 3x).

Entonces, ¿qué son los exponentes?

Ingrese al Expand-o-tron (TM)

Permítanme presentarles el Expand-o-tron 3000.

Sí, este dispositivo parece un microondas de mala calidad, pero en lugar de calentar alimentos, aumenta el número. Pon un número y sale uno nuevo. Así es cómo:

• Comience con 1.0
• Establezca el crecimiento al cambio deseado después de un segundo (2x, 3x, 10.3x)
• Establecer el tiempo a la cantidad de segundos
• Presione el botón

Y shazam! Suena la campana y sacamos nuestro nuevo número brillante. Supongamos que queremos cambiar 1.0 a 9:

• Ponga 1.0 en el expand-o-tron
• Establezca el cambio para el crecimiento “3x” y el tiempo durante 2 segundos
• Presione el botón

El número comienza a transformarse tan pronto como comenzamos: vemos 1.0, 1.1, 1.2 … y justo cuando terminamos el primer segundo, estamos en 3.0. Pero continúa: 3.1, 3.5, 4.0, 6.0, 7.5. Tan pronto como terminamos el segundo segundo estamos en 9.0. ¡Mira nuestro nuevo y brillante número!

Matemáticamente, el expand-o-tron (función exponente) hace esto:

o

Por ejemplo, 3 ^ 2 = 9/1. La base es la cantidad para crecer cada unidad (3x), y el exponente es la cantidad de tiempo (2). Una fórmula como 2 ^ n significa “Use el expand-o-tron con un crecimiento de 2x durante n segundos”.

Siempre comenzamos con 1.0 en expand-o-tron para ver cómo cambia una sola unidad. Si queremos ver qué sucedería si comenzáramos con 3.0 en el expand-o-tron, simplemente ampliamos el resultado final. Por ejemplo:

• “Comience con 1 y doble 3 veces” significa 1 * 2 ^ 3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8
• “Comience con 3 y doble 3 veces” significa 3 * 2 ^ 3 = 3 * 2 * 2 * 2 = 24

Siempre que vea un exponente simple por sí mismo (como 2 ^ 3), comenzamos con 1.0.

Comprender el factor de escala exponencial

Al multiplicar, podemos indicar el factor de escala final. ¿Lo quieres 8 veces más grande? Multiplicar por 8. Hecho.

Los exponentes son un poco … quisquillosos:

Tú: Me gustaría aumentar este número.

Expand-o-tron: Ok, pégalo.

Tú: ¿Qué tan grande se pondrá?

Expand-o-tron: Gee, no sé. Vamos a averiguar…

Tú: ¿Lo descubres? Tenía la esperanza de que tú …

Expand-o-tron: Shh !!! ¡Está creciendo! ¡Está creciendo!

Tu: …

Expand-o-tron: ¡ Ya está hecho! ¡Mi obra maestra está viva!

Tu: ¿Puedo irme ahora?

El expand-o-tron es indirecto. Con solo mirarlo, no estás seguro de lo que hará: ¿Qué significa 3 ^ 10 para ti? ¿Cómo te hace sentir? En lugar de un buen factor de escala ordenado, los exponentes quieren que sientamos, revivamos e incluso huela el proceso de crecimiento. Lo que sea que termines es tu factor de escala.

Suena rotundo y molesto. ¿Sabes por qué? ¡La mayoría de las cosas en la naturaleza no saben dónde terminarán!

¿Crees que las bacterias planean duplicarse cada 14 horas? No, solo come el pan con moho que olvidó en el refrigerador tan rápido como puede, y a medida que crece, comienza a crecer aún más rápido. Para predecir el comportamiento, usamos qué tan rápido están creciendo (tasa actual) y cuánto tiempo van a cambiar (tiempo) para calcular su valor final.

La respuesta tiene que ser resuelta: los exponentes son una forma de decir “Comience con estas condiciones, comience a cambiar y vea dónde termina”. El expand-o-tron (o nuestra calculadora) hace el trabajo al agrupar los números para obtener el factor de escala final. Pero alguien tiene que hacerlo.

Comprender los poderes fraccionales

Veamos si el expand-o-tron puede ayudarnos a entender exponentes. Primero: ¿qué significa 2 ^ 1.5?

Es confuso cuando pensamos en la multiplicación repetida. Pero el expand-o-tron lo hace simple: 1.5 es solo la cantidad de tiempo en la máquina.

• 2 ^ 1 significa 1 segundo en la máquina (crecimiento 2x)
• 2 ^ 2 significa 2 segundos en la máquina (crecimiento 4x)

2 ^ 1.5 significa 1.5 segundos en la máquina, por lo tanto, en algún lugar entre 2x y 4x de crecimiento (más adelante). La idea de “contar repetidamente” nos tenía atascados usando números enteros, pero los segundos fraccionarios están completamente bien.

Exponentes multiplicadores

¿Qué pasa si queremos dos ciclos de crecimiento consecutivos? Digamos que usamos la máquina durante 2 segundos, y luego la usamos durante 3 segundos a la misma potencia:

Piense en su microondas normal: ¿no es lo mismo que un ciclo continuo de 5 segundos? Seguro que lo es. Mientras la configuración de potencia (base) permanezca igual, solo podemos agregar el tiempo:

Nuevamente, el expand-o-tron nos da un factor de escala para cambiar nuestro número. Para obtener el efecto total de dos usos consecutivos, simplemente multiplicamos los factores de escala.

Raíces cuadradas

Sigamos. Digamos que estamos en el nivel de potencia a y crecemos durante 3 segundos:

No está mal. Ahora, ¿cómo sería crecer la mitad de ese tiempo? Sería 1.5 segundos:

¿Qué pasaría si hiciéramos eso dos veces?

Al observar esta ecuación, vemos que “crecimiento parcial” es la raíz cuadrada del crecimiento total. Si dividimos el tiempo por la mitad, obtenemos el factor de escala de la raíz cuadrada . ¿Y si dividimos el tiempo en tercios?

¡Y obtenemos la raíz cúbica! Para mí, esta es una razón intuitiva por la cual dividir los exponentes da raíces: dividimos el tiempo en cantidades iguales, por lo que cada período de “crecimiento parcial” debe tener el mismo efecto. Si se multiplican tres efectos idénticos, significa que cada uno es una raíz cúbica.

Exponentes negativos

Ahora estamos en racha: ¿qué significa un exponente negativo? ¡Los segundos negativos significan retroceder en el tiempo! Si avanzar aumenta en un factor de escala, retroceder debería reducirse.

La oración significa “hace 1 segundo, estábamos a la mitad de nuestra cantidad actual (1/2 ^ 1)”. De hecho, esta es una parte ordenada de cualquier gráfico exponencial, como 2 ^ x:

Elija un punto como 3.5 segundos (2 ^ 3.5 = 11.3). Un segundo en el futuro estaremos al doble de nuestra cantidad actual (2 ^ 4.5 = 22.5). Hace un segundo estábamos a la mitad de nuestra cantidad (2 ^ 2.5 = 5.65).

¡Esto funciona para cualquier número! Donde sea 1 millón, estábamos a 500,000 un segundo antes. Pruébalo a continuación:

Tomando el poder zeroth

Ahora intentemos lo complicado: ¿qué significa 3 ^ 0? Bueno, configuramos la máquina para un crecimiento 3 veces mayor y la usamos durante … cero segundos . ¡Cero segundos significa que ni siquiera usamos la máquina!

Nuestros valores nuevos y antiguos son los mismos (nuevo = antiguo), por lo que el factor de escala es 1. Usar 0 como el tiempo (potencia) significa que no hay ningún cambio. El factor de escala es siempre 1.

Tomando cero como base

¿Cómo interpretamos 0 ^ x? Bueno, nuestra cantidad de crecimiento es “0x”: después de un segundo, el expand-o-tron borra el número y lo convierte en cero. Pero si hemos borrado el número después de 1 segundo, realmente significa que cualquier cantidad de tiempo destruirá el número:

0 ^ (1 / n) = enésima raíz de 0 ^ 1 = enésima raíz de 0 = 0

No importa la pequeña potencia a la que lo elevamos, será una raíz de 0.

Cero al poder zeroth

Por fin, el temido 0 ^ 0. Qué significa eso?

El expand-o-tron al rescate: ¡0 ^ 0 significa un crecimiento de 0x durante 0 segundos!

Aunque planeamos borrar el número, nunca usamos la máquina. Sin uso significa nuevo = antiguo, y el factor de escala es 1. 0 ^ 0 = 1 * 0 ^ 0 = 1 * 1 = 1 – no cambia nuestro número original. ¡Misterio resuelto!

(Para los expertos en matemáticas: la definición de 0 ^ 0 como 1 hace que muchos teoremas funcionen sin problemas. En realidad, 0 ^ 0 depende del escenario (continuo o discreto) y está en debate. La analogía de microondas no se trata de rigor: me ayuda vea por qué podría ser 1, de una manera que “contar repetidamente” no lo hace).

Referencia: lecciones de matemáticas para una visión duradera

Answer 19

0 elevado a la potencia 0 no es 1. Como mencionó el usuario, no hay conclusiones definitivas. Para entender esto mejor tenemos que profundizar en su historia:

El debate ha estado ocurriendo al menos desde principios del siglo XIX. En ese momento, la mayoría de los matemáticos acordaron que 0 ^ 0 = 1, hasta que en 1821 Cauchy enumeró 0 ^ 0 junto con expresiones como 0⁄0 en una tabla de formas indefinidas.

En la década de 1830, Libri publicó un argumento poco convincente para 0 ^ 0 = 1, y August Mobius se puso del lado de él, afirmando erróneamente que
cuando
. Un comentarista que firmó su nombre simplemente como “S” proporcionó el contraejemplo de ( e ^ −1 / t ) ^ t , y esto calmó el debate durante algún tiempo, con la conclusión aparente de este episodio de que 0 ^ 0 no debería estar definido .

Y así ha sido desde entonces … y los matemáticos han utilizado la definición que parecen adecuados para garantizar la coherencia en su trabajo.

Por ej.
1) cuando surge 0 ^ 0 al intentar determinar un límite de la forma
, debe manejarse como una forma indeterminada.

2) Para exponentes discretos 0 ^ 0 es uno como, la interpretación teórica del conjunto de 0 ^ 0 es el número de funciones del conjunto vacío al conjunto vacío. Hay exactamente una de esas funciones, la función vacía.

Hay muchos más ejemplos de este tipo. Para la lista exhaustiva, consulte la página wiki:

http://en.wikipedia.org/wiki/Exp …

Answer 20

Se pueden y se han hecho muchos argumentos de por qué esto debería llamarse una forma indeterminada, indefinida, o 1 o 0. Las preguntas frecuentes de sci.math tienen un buen tratamiento de la historia de esta pregunta y los argumentos para las diversas opiniones:

Preguntas frecuentes sobre sci.math: ¿Qué es 0 ^ 0?