¿Existe un axioma que afirma que los números complejos se pueden representar en un plano complejo?

Answer 1

Se sigue del plano euclidiano ordinario coordinado por pares de números reales, ya que los números complejos se pueden representar por pares de números reales.

Fermat y Descartes discutieron por las coordenadas en la primera mitad del siglo XVII.

Aún así, los fundamentos de la geometría y el análisis no se desarrollaron hasta más tarde, por lo que había más por hacer. En el siglo XIX, Dedekind explicó los números reales en términos de números racionales. Para 1900, los fundamentos de la geometría y el análisis eran lo suficientemente completos como para justificar cada paso.

Vea los Fundamentos de la geometría de Hilbert para obtener una descripción, en línea en Los fundamentos de la geometría: Hilbert, David, 1862-1943: Descarga y transmisión gratuitas: Archivo de Internet. Comienza con axiomas de geometría que incluyen un axioma de integridad que es el que corresponde a la integridad de los números reales. Hilbert utiliza la formulación de suma, resta, multiplicación y división de Descartes (las dos últimas se basan en la Propuesta VI.12 de Euclides), y demuestra sus diversas propiedades. Aquí está el diagrama que muestra cómo se distribuye la multiplicación sobre la suma:

Es muy interesante cómo cada uno de los axiomas para números reales corresponde a un diagrama particular en geometría plana. Esto llevó a los estudios de Ruth Moufang de varias estructuras algebraicas, incluido lo que ahora se llama bucles Moufang. Más tarde, Bruck definió una operación binaria particular en un bucle Moufang llamado núcleo del bucle que influyó en mi propio trabajo en quandles.

Es sorprendente lo conectadas que están las matemáticas.

Answer 2

No, no es un axioma. Los números complejos son solo el plano R ^ 2 con la suma de vectores y una cierta multiplicación, lo que parece extraño al principio. Empecemos desde el principio.

Un conjunto en el que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir de acuerdo con las reglas familiares de la aritmética (comutividad, identidad, inversas, recíprocas, etc.) se denomina campo. El conjunto de números reales, R, es un campo. Así también es su subconjunto los números racionales, Q, el conjunto de todas las fracciones. Además, Q es un subcampo de R. Eso significa que si agrega dos fracciones, digamos 1/3 y 1/6, obtiene una fracción, 1/2. Si piensas en 1/3 y 1/6 como números reales y los sumas (como números reales) también obtienes 1/2. Es la misma adición. La misma multiplicación. Por lo tanto, Q es un subcampo de R. Decimos que Q está “incrustado naturalmente” en R.

Del mismo modo, ¿puedes seguir y poner R dentro de un campo más grande? La respuesta corta es sí, simplemente considerando R como el eje x incrustado en el plano cartesiano R ^ 2. R ^ 2 es solo el conjunto de pares ordenados (x, y) que uno se encuentra al principio del álgebra de la escuela secundaria. ¿Cómo definiremos la suma y la multiplicación en R2? La suma es solo la suma de vectores: (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v). La parte realmente clara es cómo definir la multiplicación. ¡La multiplicación “obvia” (x, y) (u, v) = (xu, yv) NO funciona! Piénsalo. Muchos puntos (pares ordenados) no tendrían inversos (recíprocos).

Hay una multiplicación realmente genial que sí funciona, que requiere un poco de esfuerzo para entender. Cuando R ^ 2 recibe esta multiplicación correcta, la llamamos C, el campo de los números complejos. Todavía tenemos R: son solo todos los puntos de la forma (x, 0), el eje x. R es un subcampo de C. ¿Qué pasa con el eje y? Denotemos (0,1) con la letra i.

Entonces, un número complejo es solo un punto en el plano, un par ordenado. El valor absoluto de un número complejo es su distancia al origen, y llamemos a su “ángulo” el ángulo que forma con el eje x positivo. (Por ejemplo, el ángulo de (1,1) es de 45 grados. El ángulo de (-1,0) es de 180 grados.) Tenga en cuenta que ambos son números reales. Entonces, por ejemplo, ya sabemos cómo multiplicar valores absolutos. Ya sabemos cómo agregar ángulos.

Aquí está la multiplicación que funciona: multiplicar números complejos multiplica sus valores absolutos y suma los ángulos.

Ejemplo: el valor absoluto de (1,0) es 1 y su ángulo es 0. Entonces, si (x, y) es cualquier punto, (1,0) veces (x, y) es solo (x, y) de regreso . Piénsalo. Entonces (1,0) es la unidad o identidad en C. Entonces lo llamamos 1. 1 = (1,0). Del mismo modo, 2 es igual a (2,0) y -1 es igual a (-1,0).

Observe que con esta multiplicación, el producto de dos números reales (en el eje x) permanece real (en el eje x). Piénsalo. R es de hecho un subcampo. Como subproducto, esta es una excelente manera de entender por qué el producto de dos reales negativos es positivo.

Otro ejemplo: (1,1) veces en sí mismo es (0,2).

¿Qué es i ^ 2? Resolverlo: (0,1) multiplicado por sí mismo produce (-1,0) = -1. 90 grados más 90 grados = 180 grados. Entonces yo ^ 2 = -1. Entonces -1 ahora tiene raíces cuadradas i y -i, es decir, (0,1) y (0, -1).

Hay mucho que verificar, que omitiré. Tienes que demostrar que esta multiplicación es conmutativa y asociativa y satisface la propiedad distributiva. Todo funciona.

Entonces, el hecho de que C sea solo R ^ 2 con la multiplicación correcta es un teorema, no un axioma.

Answer 3

No, esto es por construcción / definición. Ni siquiera hay un axioma que afirme que los números reales están representados por los puntos de la línea.