Nadie lo sabe.
Si [math] n [/ math] no es una potencia de [math] 2 [/ math] entonces [math] 10 ^ n + 1 [/ math] ciertamente no es primo (vea esta respuesta para obtener más información sobre esto), pero si [math] n [/ math] es una potencia de [math] 2 [/ math] entonces no conocemos ninguna razón para que [math] 10 ^ n + 1 [/ math] sea primo o compuesto. Para todos los valores de [math] k [/ math] que pudimos verificar, hemos encontrado que [math] 10 ^ {2 ^ k} +1 [/ math] es de hecho compuesto, pero no sabemos si Este patrón persiste.
El número más pequeño de esta forma de la que no estamos seguros, por lo que puedo decir, es [matemáticas] 10 ^ {2 ^ {13}} + 1 [/ matemáticas]. El estado de [matemáticas] 10 ^ {2 ^ {14}} + 1 [/ matemáticas] es igualmente desconocido, pero se ha determinado que muchos números de esta forma que son enormemente más grandes son compuestos, y de hecho se encontró un factor primo. Muchas tablas y resultados están disponibles en el documento “Factores de los números de Fermat generalizados” de Björn y Riesel [1].
(EDITAR: las referencias más recientes mencionan que [math] n = 13 [/ math] y [math] n = 14 [/ math] ahora se sabe que hacen que [math] 10 ^ {2 ^ n} +1 [/ math] sea compuesto , por lo que el primer caso desconocido parece ser [matemática] 10 ^ {2 ^ {21}} + 1 [/ matemática].)
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Aquí hay algunas tablas relevantes de ese documento. Las primeras filas proporcionan una descomposición primaria completa de [matemática] 10 ^ {2 ^ 4} +1 [/ matemática], [matemática] 10 ^ {2 ^ 5} +1 [/ matemática] y así sucesivamente. Las entradas como “P33” significan “un primo conocido de 33 dígitos”.
En el siguiente lote, observe la ausencia de [matemáticas] 13 [/ matemáticas] y [matemáticas] 14 [/ matemáticas].
Las últimas entradas en la tabla de Björn y Riesel son alucinantes:
Para ser claros, la última entrada demuestra que el número [matemáticas] 10 ^ {2 ^ {44684}} + 1 [/ matemáticas] no es primo. Este es un número cuyo número de dígitos es en sí mismo un número con más de 13,000 dígitos decimales.
Puedes ver que al estudiar [matemáticas] 10 ^ {2 ^ n} +1 [/ matemáticas], Björn son Riesel fueron capaces de detectar factores primos “pequeños” de la forma [matemáticas] k \ veces 2 ^ {n + r } +1 [/ math] para ciertos valores pequeños de [math] k [/ math] y [math] r [/ math]. Hay razones teóricas por las cuales es bueno buscar tales factores, pero aún no entendemos completamente cuándo y por qué aparecen.
Notas al pie
[1] http://www.ams.org/journals/mcom…