Primero, revisemos todos los conjuntos de diferentes tipos de números, dónde fallan y en qué parte de su lista se encuentra el conjunto de números complejos. (Los números complejos incluyen números imaginarios como un caso especial). Se mostrará que cada conjunto de la lista surge de la insuficiencia del conjunto justo debajo de él.
El primer conjunto es el de los números naturales :
1, 2, 3, … etc.
Se les llama naturales porque son realmente naturales —conceptos innatos— para los humanos, y probablemente también para muchos animales. Los humanos y algunos animales (así como el Conde de Sesame Street) los usan para contar objetos físicos discretos para los cuales la diferencia entre los individuales es irrelevante.
Ahora considere la operación de sumar números naturales. Claramente, la adición produce números que también son naturales. ¿Pero qué hay de la resta ? A los niños pequeños se les enseña que está bien hacer 5–3, lo que arroja un número natural, pero no 3–5, cuyo resultado no se puede contar. Sin embargo, en la práctica, tales restas pueden ser muy útiles, si no para contar, entonces en contabilidad, cuando las personas toman préstamos, gastan más dinero del que tienen y acumulan deudas.
Es hora de inventar un nuevo tipo de números que puedan acomodar restas ilimitadas. Los resultados de sustracciones como 3–5 se llaman números negativos , y el de 3–3 se llama cero . Todo el conjunto se ve así:
-etc. … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … etc.
Estos y su conjunto se llaman números enteros o enteros . Puede ver que el conjunto de enteros sí incluye dentro de él el conjunto de números naturales. Este tipo de inclusión será la regla en todo momento.
- ¿Es 1 realmente más grande que -1?
- ¿Existe un axioma que afirma que los números complejos se pueden representar en un plano complejo?
- ¿Cuál es la suma total de los números de 3 dígitos formados por 0, 2, 4, 5 y 6 sin repetición?
- ¿Cuál es el propósito del número 3?
- ¿El número [matemáticas] 10 ^ n + 1 [/ matemáticas] no es primo para [matemáticas] n \ ge 3 [/ matemáticas]?
¿No es útil aplicar las operaciones de multiplicación y división a enteros? Multiplicar dos enteros claramente produce un entero, pero no todas las divisiones permanecen dentro del conjunto; la mayoría de las veces tenemos fracciones, como 17/5, no enteros como 15/5 = 3. Para hacer un hogar para los resultados de las divisiones también definimos el conjunto de números racionales , que incluye los resultados de todas las divisiones enteras posibles. Claramente, el conjunto de enteros en sí también está incluido. Una muestra de este conjunto es el subconjunto
… 4395/4396, 4396/4397, 4397/4398, 4398/4399, … n / (n + 1) …
Vemos que el subconjunto anterior se vuelve más y más denso a medida que n se hace más grande. Por lo tanto, es lógico que podamos hacer que cualquier subconjunto de números racionales sea tan denso como lo deseemos. Por ejemplo, a medio camino entre cada par adyacente de n / (n + 1) racionales, no importa cuán cerca, podemos insertar otro racional, desde el subconjunto 3n / 2 (n + 1) . Por lo tanto, para todos los fines prácticos, como especificar cantidades de líquido y con la precisión deseada, siempre podemos encontrar un número racional para hacer el trabajo. Y dado que podemos encontrar un número racional en cualquier lugar que queramos en el eje de números , parece que los números racionales son todo lo que hay en él.
¡Sorpresa! El número que representa la longitud de la diagonal de un cuadrado del lado de la unidad, sqrt (2) = 1.4142 … ¡no está entre los racionales! No existe una fracción de enteros que iguale esa longitud con absoluta precisión. Esta revelación fue un shock terrible para la escuela pitagórica de antiguos matemáticos griegos, y dado que socavaba su visión del mundo, decidieron mantenerlo en secreto para los no iniciados. Y hay infinitos números de este tipo, llamados números irracionales , y apiñan el eje de números entre los números racionales infinitamente densos sin interferir nunca con ninguno de estos últimos.
En general, los números irracionales son soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales , por ejemplo:
ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 .
(La ecuación para el ejemplo sqrt (2) es x ^ 2 – 2 = 0. ) Sin embargo, no todas las soluciones de tales ecuaciones son necesariamente irracionales y, como veremos más adelante, no todas las ecuaciones de esta forma tienen soluciones irracionales. El conjunto que incorpora números racionales e irracionales se denomina conjunto de números algebraicos .
Pero adivina qué: ¡entre la secuencia infinitamente llena de números algebraicos ordenados todavía hay espacio para números que ni siquiera son eso! Es posible que haya escuchado la expresión “cuadrar el círculo”, que significa una tarea imposible. Se origina con los geómetras de la antigüedad, volviendo la cabeza en intentos inútiles para construir un cuadrado que tenga la misma circunferencia que la de un círculo dado. Y la razón por la que fallaron es que la relación circunferencia / diámetro del círculo, el número conocido como pi , ni siquiera es irracional: pertenece a un conjunto llamado números trascendentales . Otro número de este tipo es la base de logaritmos naturales e . Ninguna ecuación algebraica puede darlos como soluciones, pero las ecuaciones que involucran funciones analíticas, como seno , coseno y log , sí; por lo tanto, solo se pueden expresar como series infinitas , por ejemplo,
pi = 4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … + …) .
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … + …
Ahora podemos agrupar todos los conjuntos abordados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales y trascendentales) para formar el conjunto llamado números reales . Bueno. ¿Pero son estos todo lo que hay? ¿Qué pasa con la solución de la ecuación cuadrática inocente?
x ^ 2 + 2 x + 2 = 0 ?
Como se puede verificar con las matemáticas de secundaria, la solución a esta ecuación involucra sqrt (-1), un número que no existe dentro del conjunto real. De hecho, si traza la función y = x ^ 2 + 2 x + 2 en el plano XY , encontrará que en ninguna parte su línea cruza el eje X. Por lo tanto, a los estudiantes de secundaria se les enseña que no hay solución, al igual que a los niños pequeños se les enseña 3–5 no existe. Pero las matemáticas no toleran el vacío.
Ingrese números complejos , de la forma z = x + iy , donde x e y son números reales e i , la unidad imaginaria , se define como i = sqrt (-1). Mientras que los números reales se representan como puntos que se encuentran a lo largo del eje real , los números complejos se representan como puntos que se encuentran en el plano complejo , con el eje imaginario perpendicular al real. Que esto no es una construcción artificial artificial se entiende por el teorema fundamental del álgebra , que dice, en efecto, que no solo existen todas las soluciones de todas las ecuaciones polinómicas reales en el plano complejo, sino que también existen todas las soluciones de todos ecuaciones de una sola variable de cualquier forma y coeficientes complejos, (es decir, que el campo de los números complejos está cerrado algebraicamente). Este hecho pone fin a cualquier necesidad de buscar números más allá del complejo, ya que ninguna ecuación compleja produce una solución hecha de tales números .
Resumamos la pirámide de números que hemos completado, pico a base:
– naturales;
– enteros = naturales + cero + naturales negativos;
– racionales = naturales + cero + naturales negativos + fracciones enteras;
– algebraico = naturales + cero + naturales negativos + fracciones enteras + irracionales;
– reales = naturales + cero + naturales negativos + fracciones enteras + irracionales + trascendentales;
– complejo = naturales + cero + naturales negativos + fracciones enteras + irracionales + trascendentales + imaginarios.
Y eso es.
Ahora llegamos, por fin, a la pregunta: ¿para qué sirven los números complejos? Bueno, son indispensables para análisis avanzados en matemáticas y ciencias físicas y de ingeniería. Ejemplos son:
a. Trigonometría : Considere la increíble identidad, en mi opinión, uno de los mayores logros de las matemáticas, exp ( iz ) = cos ( z ) + i sin ( z ) . Usando esta identidad, obtener las fórmulas trigonométricas más difíciles es pan comido.
b . Fasores : en la tecnología de energía eléctrica, la suma de corrientes o tensiones de CA (a diferencia de las de CC) no es sencilla; Hay que tener en cuenta la diferencia de fase entre las cantidades. A menos que los términos agregados estén representados por números complejos, llamados fasores , las operaciones son incómodas. Los fasores, por otro lado, contienen la información de amplitud y fase y se pueden sumar como números simples.
c . Análisis de la señal de Fourier : para encontrar los componentes espectrales de una señal que varía en el tiempo, los científicos e ingenieros usan expansiones de la serie de Fourier o transformadas integrales de Fourier. Estos producen, en general, cantidades complejas que representan las amplitudes y fases de los contenidos espectrales de la señal, de la misma manera que lo hacen los fasores.
d . Solución de ecuaciones diferenciales lineales : tales ecuaciones son esenciales en el modelado de muchos sistemas físicos y de ingeniería y deben resolverse para descubrir cómo se comportan estos sistemas bajo diferentes condiciones e influencias. Además de los casos más simples (ecuaciones con coeficientes constantes), el camino a seguir es la transformación integral de Laplace. La ecuación transformada por Laplace existe, por definición, en el plano complejo. Entonces, todo el proceso de descifrar el comportamiento del sistema a partir de la ecuación transformada generalmente se realiza en ese plano, y evitarlo es impensable.
e . Análisis de estabilidad del sistema : una de las preguntas más interesantes sobre el comportamiento de un sistema de ingeniería se refiere a su estabilidad dinámica: si perturbamos el curso nominal de los eventos que experimenta el sistema, la perturbación desaparecerá o crecerá a niveles de vibración dañinos o ilimitados. Para un sistema lineal, este tipo de análisis se realiza exclusivamente en el plano complejo, en función de las ubicaciones en ese plano de los polos y ceros del sistema .
f . Funciones de onda cuántica : Finalmente, para esta lista, la física cuántica, que es el paradigma actual de toda la física de lo pequeño: partículas, núcleos, átomos y moléculas, se habría detenido en la década de 1920 si no fuera por el negrita. determinación de que su característica teórica más fundamental, la función de onda, es una cantidad compleja; no solo convenientemente complejo, sino inherentemente y esencialmente complejo.
Entonces ahí está. Los números imaginarios no son más imaginarios que, digamos, números negativos. Son una parte necesaria del sistema matemático de números y su importancia y utilidad no pueden ser sobrestimadas. Sin embargo, el adjetivo imaginario me parece engañoso. Prefiero tener números azules para los reales, números rojos para los imaginarios y números coloridos para los complejos.
