Demuestre que si los valores de a y c se dan y no son cero, ¿siempre es posible elegir un valor de b para que f (x) = ax ^ 2 + bx + c tenga raíces reales distintas?

Answer 1

Para que las raíces de cualquier ecuación cuadrática sean reales, el discriminante no debe ser negativo. El discriminante es la expresión debajo de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática.

Para que las raíces sean distintas, el discriminante debe ser estrictamente positivo, porque si fuera cero, tendría una raíz con una multiplicidad de dos.

Dado que [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math], entonces la fórmula cuadrática nos da los valores [math] x [/ math] que hacen que esta ecuación sea verdadera.

[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Como puede ver, si [math] a [/ math] es cero, la fórmula no funciona. Tiene sentido hacer que sea una restricción en [math] a [/ math]. De lo contrario, no tendríamos una ecuación cuadrática en primer lugar. Pero, [matemáticas] c [/ matemáticas] puede ser cero. No es necesario que sea distinto de cero para obtener dos soluciones reales y distintas.

Para demostrar que para cualquier [matemática] a, c \ in \ mathbb {R} [/ math] donde [math] a \ neq 0 [/ math] existe [math] b \ in \ mathbb {R} [/ math ] tal que [math] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ math] tiene dos soluciones reales y distintas es equivalente a demostrar que existe [math] b \ in \ mathbb {R} [/ math] tal que [math ] b ^ 2-4ac> 0. [/ matemáticas]

Caso 1: [matemática] c = 0 [/ matemática], entonces solo necesitamos [matemática] b ^ 2> 0 [/ matemática] que cualquier [matemática] b \ in \ mathbb {R} – \ {0 \} [ / matemáticas] funciona.

Caso 2: [math] ac <0 [/ math], en este caso el distribuidor es siempre estrictamente positivo, por lo que cualquier [math] b \ in \ mathbb {R} [/ math] funciona (incluido cero)

Caso 3: [matemática] ac> 0 [/ matemática], entonces lo que queremos es tener [matemática] b> 2 \ sqrt {ac} [/ matemática]. Debido a la propiedad de los reales de Arquímedes, siempre podemos encontrar una [matemática] b [/ matemática] que satisfaga ese requisito.

En los tres casos podemos encontrar el número que necesitamos para dos soluciones reales y distintas.

Answer 2

Sin embargo, no haré una prueba formal:

Si [math] a [/ math] y [math] c [/ math] son ​​números reales, no es difícil de probar con la fórmula cuadrática.

[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

La fórmula cuadrática se puede aplicar porque usted indicó [matemáticas] a \ ne 0 [/ matemáticas].

Para que haya 2 raíces reales, [matemáticas] b ^ 2 – 4ac> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2> 4ac [/ matemáticas]

Si tanto [math] a [/ math] como [math] c [/ math] son ​​el mismo signo, entonces:

[matemáticas] b \ in (- \ infty, -2 \ sqrt {ac}) \ cup (2 \ sqrt {ac}, \ infty) [/ math]

Como usted indicó [matemáticas] a \ ne 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] c \ ne 0 [/ matemáticas], si [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] son ​​signos diferentes, entonces :

[matemáticas] b \ in \ mathbb {R} [/ matemáticas]

Si incluye valores para [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] que no son reales, dejaré la pregunta a alguien más entendido que yo. No soy un estudiante de matemática pura, mi matemática está relacionada principalmente con estadísticas y finanzas.

Answer 3

Esta no es una prueba formal, pero considere: para cualquier a y c que no sea cero, hay tres posibilidades:
a> 0 yc> 0 ⇒ 4ac> 0, y obviamente hay algo b tal que b²> 4ac.
Por lo tanto ax² + bx + c tiene raíces reales distintas.

a <0 y c <0 ⇒ 4ac> 0, y obviamente hay algo b tal que b²> 4ac.
Por lo tanto ax² + bx + c tiene raíces reales distintas.

a> 0 y c <0 (equivalentemente, a <0 y c> 0) ⇒ 4ac <0, y b² - 4ac es, por lo tanto,> 0 para cualquier b.
Por lo tanto ax² + bx + c tiene raíces reales distintas.