Si [math] \ frac {x} {y}> 1 [/ math], entonces cuál es mayor [math] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} [/ math] o [math ] 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenga en cuenta que [math] x \ ne 0 [/ math] y [math] y \ ne 0 [/ math]. De [matemática] \ frac {x} {y}> 1 [/ matemática], concluimos que [matemática] xy = \ frac {x} {y} \ cdot y ^ 2> y ^ 2> 0 [/ matemática] . Por lo tanto, [math] x [/ math], [math] y [/ math] tienen el mismo signo.

Si [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y> 0 [/ matemática], entonces [matemática] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} \ ge 2 \ sqrt { \ frac {x} {y} \, \ frac {y} {x}} = 2 [/ math], con igualdad si y solo si [math] \ frac {x} {y} = \ frac {y} { x} [/ matemáticas]. Entonces, la igualdad ocurre si y solo si [matemática] x ^ 2 = y ^ 2 [/ matemática], o precisamente cuando [matemática] x = y [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] desde [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y> 0) [/ matemática]. Por lo tanto, si suponemos [matemáticas] x \ ne y [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x}> 2 [/ matemáticas].

Si [matemática] x <0 [/ matemática] y [matemática] y <0 [/ matemática], entonces [matemática] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} = \ frac {-x } {- y} + \ frac {-y} {- x} [/ math], y así se reduce al primer caso.

Por lo tanto, [matemática] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x}> 2 [/ matemática] siempre que [matemática] \ frac {x} {y}> 1 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

En primer lugar, tomemos [math] \ frac {x} {y} = 1 [/ math], de ahí que [math] x = y [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {x} {x} + \ frac {x} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ frac {x} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [/ matemáticas] x [matemáticas] 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [/ matemáticas]

Esta es la condición limitante. El valor de [math] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} [/ math] si se sigue la condición de [math] \ frac {x} {y}> 1 [/ math] puede ser menor o mayor que [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Ahora, si [matemática] \ frac {x} {y}> 1 [/ matemática], entonces [matemática] x> y [/ matemática] y [matemática] x ^ 2> y ^ 2 [/ matemática].

Digamos que, [matemática] x = y + [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 = (y +) ^ 2 [/ matemática], lo que significa que, [matemática] y +> y [/ matemática] y [matemática] (y +) ^ 2> y ^ 2 [/ matemáticas].

Ahora, [matemáticas] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {xy} [/ matemáticas]

Sustituyendo los valores de [math] x [/ math] y [math] x ^ 2 [/ math], obtenemos:

[matemáticas] = \ frac {(y +) ^ 2 + y ^ 2} {(y +) y} [/ matemáticas]

Ahora, podemos suponer que [math] (y +) ^ 2 = (y ^ 2) ++ [/ math], indicando que el valor es mayor que [math] y ^ 2 [/ math].

Así,

[matemáticas] = \ frac {(y ^ 2) ++ + y ^ 2} {(y +) y} [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] (y ^ 2) ++ + y ^ 2 = 2 (y ^ 2) ++ [/ matemáticas] y [matemáticas] (y +) y = (y ^ 2) + [/ matemáticas]. Sustituyendo estos valores [matemática]: [/ matemática]

[matemáticas] = \ frac {2 (y ^ 2) ++} {(y ^ 2) +} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 + [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] 2 + [/ math] indica que el valor es mayor que [math] 2 [/ math].

Me tomó una hora descubrir un método fácil, por lo que agradecer mucho dar un VOTO.

Answer 3

Se da que x / y> 1,

Entonces, sea x / y = 1 + h, donde h> 0

Entonces, y / x = 1 / (1 + h)

Al agregar las dos ecuaciones anteriores, obtenemos:

x / y + y / x = 1 + h + 1 / (1 + h)

es decir, x / y + y / x = [(1 + h) ^ 2 + 1] / (1 + h)

es decir, x / y + y / x = (1+ h ^ 2 + 2h + 1) / (1 + h)

es decir, x / y + y / x = (2 + 2h + h ^ 2) / (1 + h)

es decir, x / y + y / x = [2 (1 + h) + h ^ 2] / (1 + h)

es decir, x / y + y / x = 2 + {h ^ 2 / (1 + h)},

que seguramente es> 2 como {h ^ 2 / (1 + h)}> 0, ya que h> 0

Por lo tanto, si x / y> 1, entonces

x / y + y / x> 2. 🙂

Answer 4

La expresión dada es mayor que 2.

Se puede probar con una simple aplicación de la desigualdad AM – GM [1].

Notas al pie

[1] Desigualdad de medios aritméticos y geométricos – Wikipedia

Answer 5

dado x / y> 1

así que suponga x / y = 1 + h donde h> 0

Entonces y / x = 1 / (1 + h)

Entonces (x / y) + (y / x)

= (1 + h) + 1 / (1 + h)

= (h² + 2h +2) / (1 + h)

= 2 + h² / (1 + h)

donde h² / (1 + h)> 0

Por lo tanto (x / y) + (y / x)> 2

Answer 6

Suponiendo que [math] x, y \ ne 0 [/ math] deje que [math] \ dfrac {x} {y} = z [/ math], esto hace que [math] \ displaystyle \ dfrac {x} {y} + \ dfrac {y} {x} = z + \ dfrac {1} {z} = (\ sqrt {z} – \ dfrac {1} {\ sqrt {z}}) ^ 2 + 2> 2 [/ math], donde la última línea sigue desde [math] (\ sqrt {z} – \ dfrac {1} {\ sqrt {z}}) ^ 2> 0 [/ math] como [math] z \ ne 1 [/ math].

Answer 7

Respuesta: x / y + y / x es mayor que 2

Prueba:

Dado x / y> 1

O, x> y y podemos escribir

x = y + δ donde δ es> 0 ………………………………… (1)

Tenemos que demostrar si x / y + y / x es> 2 o <2.

es decir, para probar si x / y + y / x – 2> 0 o <0

Antes de proceder con la prueba formal, tenga en cuenta que x / y + y / x = 2 implica x = y

La función

x / y + y / x – 2 = (x² + y² -2xy) / xy = [(y + δ) ² + y² – 2 (y + δ) y] / y (y + δ) [Usando la ecuación ( 1)]

= (y² + 2y.δ + ​​δ² + y² – 2y² – 2y.δ) / y (y + δ) que en la simplificación

= δ² / y (y + δ) que es positivo ya que δ es> 0 y el denominador es positivo. Esto se debe a que x / y> 1 y, por lo tanto, xey son positivos o negativos. En cualquier caso, y (y + δ) es positivo.

Por lo tanto, x / y + y / x – 2> 0

O, x / y + y / x> 2 (probado)

Answer 8

Si (x / y)> 1, entonces (y / x) será menor que 1.

(x / y) + (y / x)> 2

(x ^ 2 + y ^ 2) / (xy)> 2

(x ^ 2 + y ^ 2)> (2xy)

(x ^ 2 + y ^ 2 -2xy)> 0

(x -y) ^ 2> 0

(x -y)> 0

x> y

(x / y)> 1

Por ingeniería inversa 🙂

Espero que esto te ayude 🙂

“Los problemas importantes que enfrentamos no pueden resolverse con el mismo nivel de pensamiento que teníamos cuando los creamos”.

Answer 9

CASO 1

si 2> x / y> 1. entonces y / x será menor que 1

entonces x / y + y / x será mayor que 2

por ejemplo: sea x / y = 1.5 luego y / x = 0.666666 …

y x / y + y / x = 2.1….

CASO 2

si x / y> 2, entonces como x / y es positivo, x / y + y / x siempre será más rápido que 2.

Answer 10

Como x / y> 1, hay 2 casos

Caso 1) x, y> 0

Por am / gm desigualdad,

(x / y + y / x) / 2 ≥1

Así x / y + y / x> 2

Caso 2) x, y <0

Suponga que p = -x y q = -y

Además, por la desigualdad am / gm obtenemos el mismo resultado

Conclusión: x / y + y / x ≥2

Answer 11

Sabemos que x / y> 1.

Por lo tanto, x e y no pueden ser 1.

Si x / y> 1, entonces es recíproco será menor que 1. Por lo tanto, y / x <1.

Ahora, cuando agrega algo más de uno y algo menor que uno, puede obtener algo menor que 2 o más de 2. De hecho, depende de los valores de x e y.

Answer 12

depende del valor de (x / y)

si es menor que 2, entonces 2 es mayor

es mayor que 2, entonces 2 es más pequeño