Complementario a la respuesta dada a mi Sr. Farrugia es la tarifa estándar de análisis inicial de la definición de una derivada de una función en un punto dado [math] x_0 [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle f_x ‘(x_0) = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ dfrac {\ Delta f} {\ Delta x} = \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {f (x_0 + \ Delta x) – f (x_0)} {\ Delta x} \ tag * {} [/ math]
En nuestro caso:
- Cómo entender 6 = a + b
- El objeto X tiene el doble de masa y velocidad en comparación con Y. ¿Cuál será la energía cinética de X en términos de Y? Mi respuesta es 4 veces de Y, pero la respuesta original es 2 veces.
- ¿Qué es [matemáticas] x [/ matemáticas] cuando [matemáticas] 1510.71 (1486.7412-x) \ cdot0.695 = 575.92 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el valor del cuadrado de 4 1/2, cuando se expresa como una fracción mixta?
- ¿Alguien puede proporcionarme la manera fácil de derivar la fórmula general de la ecuación cuártica para que el estudiante de nivel inferior también la entienda?
[matemáticas] f (x) = \ sin (x) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
donde el ángulo [matemática] x [/ matemática] se mide en radianes (no en grados *). Por lo tanto:
[matemáticas] \ displaystyle \ sin_x ‘(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {\ sin (x + \ Delta x) – \ sin (x)} {\ Delta x} \ tag * {} [/matemáticas]
Sucede que recientemente hemos usado la diferencia para identificar la identidad trigonométrica:
[matemáticas] \ sin (\ alpha) – \ sin (\ beta) = 2 \ cdot \ cos \ dfrac {\ alpha + \ beta} {2} \ cdot \ sin \ dfrac {\ alpha- \ beta} {2} \ etiqueta * {} [/ math]
en esta respuesta de Quora. Aquí:
[matemáticas] \ alpha = x + \ Delta x, \; \ beta = x \ tag * {} [/ math]
y:
[matemáticas] \ sin (x + \ Delta x) – \ sin (x) = 2 \ cdot \ cos \ Big (x + \ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big) \ cdot \ sin \ Big (\ dfrac { \ Delta x} {2} \ Big) \ tag * {} [/ math]
Por lo tanto:
[matemáticas] \ displaystyle \ sin_x ‘(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {2 \ cdot \ cos \ Big (x + \ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big) \ cdot \ sin \ Big (\ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big)} {\ Delta x} \ tag * {} [/ math]
Divida el numerador y el denominador de la fracción anterior por [math] 2 [/ math] y reorganícelo de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle \ sin_x ‘(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {\ sin \ Big (\ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big)} {\ dfrac {\ Delta x} {2}} \ cdot \ cos \ Big (x + \ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big) \ tag * {} [/ math]
Ahora usamos el teorema que establece que el límite de un producto es el producto de límites siempre que los límites existan .
El primer límite:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {\ sin \ Big (\ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big)} {\ dfrac {\ Delta x} {2}} = 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
existe ya que con la sustitución [math] \ dfrac {\ Delta x} {2} = \ alpha [/ math] se reduce a:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ alpha \ a 0} \ dfrac {\ sin (\ alpha)} {\ alpha} = 1 \ tag {1} [/ math]
que, por cierto, demuestra por qué ( 1 ) no se puede calcular a través de la regla de L’Hopital ya que introduce un razonamiento circular: para usar la regla de L’Hopital debemos saber cuál es la derivada de [matemáticas] f (x) = \ sin (x) [/ math] es! La forma correcta de calcular el límite ( 1 ) se muestra en esta respuesta de Quora.
A continuación, confiamos en el hecho de que se demostró previamente que [math] f (x) = \ cos (x) [/ math] es una función continua (sin atajos aquí) y, por lo tanto, el límite:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ a 0} \ cos \ Big (x + \ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big) = \ cos (x) \ tag * {} [/ math]
existe y es igual a [math] \ cos (x) [/ math]. Combina las dos observaciones anteriores:
[matemáticas] \ displaystyle \ sin_x ‘(x) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {\ sin \ Big (\ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big)} {\ dfrac {\ Delta x} {2}} \ cdot \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ cos \ Big (x + \ dfrac {\ Delta x} {2} \ Big) = \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] 1 \ cdot \ cos (x) = \ cos (x) \ tag * {} [/ matemáticas]
o:
[matemáticas] \ sin_x ‘(x) = \ cos (x) \ tag * {} [/ matemáticas]
Para verificar que lo anterior tiene sentido, calcule las derivadas de [math] \ cos (x) [/ math] y [math] \ tan (x) [/ math] por su cuenta.
(* observe que si el ángulo se midiera en grados, entonces el límite ( 1 ) no sería [matemática] 1 [/ matemática] sino [matemática] \ dfrac {\ pi} {180 ^ {\ circ}} [/ matemática] y luego la derivada en cuestión habría sido:
[matemáticas] \ sin_x ‘(x) = \ dfrac {\ pi} {180 ^ {\ circ}} \ cdot \ cos (x) \ tag * {} [/ matemáticas]
que es bastante feo)
