Cómo crear una ecuación [matemática] f (x) [/ matemática] tal que [matemática] f (-4) = 6, f ^ {- 1} (x) [/ matemática] es una función, y [matemática] f ^ {- 1} (x) [/ math] tiene [math] R \ {y \ le n, y \ in \ mathbb {R} \}? [/ math]

Answer 1

Creo entender que una n fija se define de antemano, y que por cada y ≤ n habrá un valor x para que f¯¹ (x) = y. Si f¯¹ no excede n, entonces f se definirá solo para x ≤ n.

Aquí hay un ejemplo.

No especificó el dominio para fy f¯¹ – aquí, elegí [0, inf) para ser el dominio de f¯¹, es decir, f¯¹ se define para números reales no negativos. Comenzamos a definir una clase de funciones monótonamente decrecientes f¯¹ (y) con rango (-inf, n], y luego calculamos la función inversa f. Para cumplir con el valor requerido f (-4) = 6, definimos f ¯¹ que contiene un parámetro “a”, y luego resolvemos para a.

Por ejemplo, elija f¯¹ (y) = n – a * y². Aparentemente f¯¹ (0) = n, f¯¹ está disminuyendo de forma monótona, y el rango de f¯¹ es (-inf, n] según lo solicitado. Al establecer x = f¯¹ (y) y resolver esta ecuación para y da usamos la función inversa, es decir, f (x); en este caso

f (x) = sqrt ((nx) / a)

Establecer f (-4) = 6 = sqrt ((n + 4) / a) y resolver rendimientos

36 = (n + 4) / a

a = (n + 4) (36

Ahora defina algunos n – digamos n = 32 – entonces tenemos a = 1 – y esto da

f (x) = sqrt (32-x)

que se define para x ≤ 32, que está disminuyendo monótonamente (y por lo tanto tiene una función inversa). y que tiene f (-4) = 6 según lo solicitado. La función inversa es f¯¹ (y) = 32-y² con dominio [0, inf} y rango (-inf, 32]

Answer 2

Hm, depende de lo que n debe ser.

Restringir el dominio de f (x) podría ser el truco para lograr la parte y <= n.

Algo así como f (x) = x ^ 2–10 con dominio {x <= n, elemento x de R}

O más bien f (x) = x + 10.

De todos modos, para n <-4, esto simplemente no es posible.

Porque el rango de f ^ -1 (x) básicamente tiene que ser parte del dominio de f (x).

Y -4 debe incluirse en el dominio porque de lo contrario f (-4) no se definirá.

Sin embargo, supongamos que elige n = -10, luego el rango de f ^ -1 (x) = {y <= - 10}

Pero esto seguro no está incluido en el dominio de f (x). ya que el dominio de f (x) debe incluir al menos -4.

Aunque no estoy seguro.

De todos modos, permitir cualquier n puede causar problemas de una forma u otra.