¿Qué es [matemáticas] {{d} \ over {dx ‘}} (sin (x + x’) x ^ 2 + x (x ‘) ^ 2) [/ matemáticas] donde x es una función de t y [matemáticas ] x ‘= {dx \ over dt} [/ math]?

Answer 1

¿Se supone que [math] x ‘[/ math] es la derivada de [math] y = x [/ math]? Si es así, [matemáticas] x ‘= 1 [/ matemáticas]. No se puede diferenciar en términos de una función constante, por lo que la expresión sería indefinida.

Si, por otro lado, [matemática] x ‘[/ matemática] es una variable diferente a [matemática] x [/ matemática], le preguntaría por qué está utilizando esta notación confusa. En lugar de [math] x ‘[/ math], puede usar [math] y [/ math]:

[matemáticas] \ dfrac {d} {dy} \ left (\ sin (x + y) x ^ 2 + xy ^ 2 \ right) [/ math]

Aquí hay dos casos: [math] x [/ math] es independiente de [math] y [/ math] (donde podemos tratarlo como una constante), o [math] x [/ math] es una función de [matemáticas] y [/ matemáticas] (donde tendríamos que usar la regla de la cadena cada vez que nos encontramos con una ‘x’):

[matemáticas] \ begin {array} {ccl} \ dfrac {d} {dy} \ left (\ sin (x + y) x ^ 2 + xy ^ 2 \ right) & = & \ dfrac {d} {dy} \ left (\ sin (x + y) x ^ 2 \ right) + \ dfrac {d} {dy} \ left (xy ^ 2 \ right) \\ & = & \ dfrac {d} {dy} \ left ( \ sin (x + y) \ right) x ^ 2 + \ sin (x + y) \ dfrac {d} {dy} (x ^ 2) + \ dfrac {d} {dy} (x) y ^ 2 + x \ dfrac {d} {dy} (y ^ 2) \\ & = & \ cos (x + y) \ left (\ dfrac {dx} {dy} + 1 \ right) x ^ 2 + \ sin (x + y) \ cdot 2x \ dfrac {dx} {dy} + \ dfrac {dx} {dy} y ^ 2 + 2xy \\ & = & \ cos (x + y) x ^ 2 + 2xy + \ dfrac {dx } {dy} \ left (\ cos (x + y) x ^ 2 + 2x \ sin (x + y) + y ^ 2 \ right) \ end {array} [/ math]

En el caso de que [matemática] x [/ matemática] sea independiente de [matemática] y [/ matemática], esto se simplifica a [matemática] \ cos (x + y) x ^ 2 + 2xy [/ matemática].

Answer 2

Podemos tomar esta parte por parte:

d / dx ‘sin (x + x’) x ^ 2 = cos (x + x ‘) x ^ 2

d / dx ‘x (x’) ^ 2 = 2x * x ‘

cos (x + x ‘) x ^ 2 + 2xx’ debería ser la respuesta.