¿Cómo se puede probar [matemáticas] \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i \ right) ^ 2 \ leq n \ sum_ {i = 1} ^ n (x_i) ^ 2 [/ math]?

Answer 1

Este es un caso específico, cuando un término es un vector unitario, de una desigualdad que tiene muchos padres: Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz.

Fuera de la primaria, puedo sugerir la siguiente prueba de la desigualdad de CBS de donde sigue la solicitada: deje que todos los números en cuestión sean reales y considere un polinomio [matemático] f (x) [/ matemático] cuadrático en [matemático] x [ /matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {i = 1} ^ n (a_i + xb_i) ^ 2 \ tag {1} [/ matemáticas]

Expandir ( 1 ):

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {i = 1} ^ na_i ^ 2 + \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ sum_ {i = 1} ^ na_ib_ix + \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nb_i ^ 2x ^ 2 \ tag {2} [/ matemáticas]

En ( 2 ) poner:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ na_i ^ 2 = A \ tag {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ na_ib_i = B \ etiqueta {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nb_i ^ 2 = C \ etiqueta {5} [/ matemáticas]

Entonces ( 2 ) se convierte en:

[matemáticas] f (x) = A + 2Bx + Cx ^ 2 \ tag {6} [/ matemáticas]

Pero, dado que todos los números son reales y los cuadrados de los reales nunca son negativos, el polinomio [matemático] f (x) [/ matemático] solo toma valores no negativos. Por lo tanto, su discriminante [matemáticas] D [/ matemáticas] no debe ser positivo:

[matemáticas] D \ leqslant 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] D = 4B ^ 2 – 4AC \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 4B ^ 2 – 4AC \ leqslant 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] B ^ 2 – AC \ leqslant 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemática] B ^ 2 \ leqslant AC \ tag {7} [/ matemática]

Ponga ( 3,4,5 ) en ( 7 ):

[matemáticas] \ displaystyle \ Big (\ sum_ {i = 1} ^ na_ib_i \ Big) ^ 2 \ leqslant \ sum_ {i = 1} ^ na_i ^ 2 \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ nb_i ^ 2 \ tag {8} [/ matemáticas]

Ahora en ( 8 ) ponga, digamos, [math] b_i = 1 [/ math]. Entonces:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nb_i ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ n1 ^ 2 = n \ tag {9} [/ matemáticas]

y:

[matemáticas] \ displaystyle \ Big (\ sum_ {i = 1} ^ na_i \ Big) ^ 2 \ leqslant n \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ na_i ^ 2 \ tag {10} [/ math]

Lo que se requería para probar (reemplazar [math] a_i [/ ​​math] con [math] x_i [/ ​​math]).

Answer 2

Este es un caso especial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz (que [matemáticas] | u \ cdot v | ^ 2 \ leq (u \ cdot u) (v \ cdot v) [/ matemáticas] para los vectores [matemáticas] u [/ math] y [math] v [/ math] en un espacio interno del producto), donde estamos trabajando dentro de [math] n [/ math] -dimensional space, [math] u = \ langle 1, 1, 1, \ dots \ rangle [/ math] y [math] v = \ langle x_1, x_2, x_3, \ dots \ rangle [/ math].

En cuanto a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, si dividimos ambos lados entre [math] u \ cdot u [/ math], el lado izquierdo es la magnitud al cuadrado de la proyección de [math] v [/ math] sobre el línea en la dirección de [matemáticas] u [/ matemáticas], mientras que el lado derecho es la magnitud al cuadrado de [matemáticas] v [/ matemáticas] en sí. Según el teorema de Pitágoras, el último menos el primero es la magnitud al cuadrado del componente de [math] v [/ math] perpendicular a [math] u [/ math], y nuestra desigualdad equivale a afirmar que esto es [math] \ geq 0 [/ math], pero por supuesto que lo es, ya que todas las magnitudes al cuadrado son.

La desigualdad solicitada también puede reformularse como [matemáticas] ((\ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i) / n) ^ 2 \ leq (\ sum_ {i = 1} ^ {n} x_i) ^ 2 / n [/ math], por lo que es un caso especial de la desigualdad de Jensen, que establece que para una función “convexa” [math] f [/ math], siempre tenemos esa [math] f [/ math] de la media ponderada de algunos valores de entrada es [math] \ leq [/ math] a la media ponderada correspondiente de [math] f [/ math] de esos valores de entrada. En este caso, la función convexa de la nota es la cuadratura, y los valores de entrada son [math] x_i [/ ​​math], cada uno con el mismo peso.

La prueba de la desigualdad de Jensen es notar que la definición relevante de la función “convexa” es una para la cual esta desigualdad se aplica cuando se trata de dos entradas y dos pesos, desde los cuales podemos extender inductivamente esta propiedad a cualquier número de entradas considerando un valor ponderado promedio de muchos valores como resultado de usar sucesivamente la operación de promediar dos valores a la vez.

En cuanto a demostrar que la cuadratura es una función convexa, quizás la forma más intuitiva de convencerse de esto es gráficamente (una línea a través de dos puntos de una parábola que se abre hacia arriba permanece por encima de la parábola entre esos puntos). En términos algebraicos, la desigualdad entre la función de cuadratura y la función correspondiente a una línea solo puede cambiar de dirección dos veces (ya que se trata de polinomios de grado hasta 2), y debe ser tal que la función de cuadratura salga por encima de la línea cuando las entradas van a infinito positivo o negativo (ya que la función de cuadratura va al infinito positivo en ambos lados y tiene un grado más alto que el polinomio correspondiente a una línea), de modo que entre dos puntos en una gráfica de la función de cuadratura, la función de cuadratura debe estar debajo de la línea que conecta esos dos puntos. Pero otro enfoque es observar que las funciones suaves son convexas precisamente cuando su segunda derivada es positiva en todas partes (o 0), y que este es realmente el caso de la cuadratura.

Answer 3

En primer lugar tenga en cuenta que

[matemática] (xy) ^ 2 \ geq 0, [/ matemática] entonces [matemática] 2xy \ leq x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática] (1)

Ahora

[matemáticas] \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ n x_i x_j [/ math]

[matemáticas] \ leq \ sum_i \ sum_j \ frac12 \ left (x_i ^ 2 + x_j ^ 2 \ right) [/ math]

[matemática] = \ frac12 \ left (\ sum_i \ sum_j x_i ^ 2 + \ sum_i \ sum_j x_j ^ 2) \ right). [/ math]

Como [math] \ sum_ {k = 1} ^ nc = nc, [/ math] [math] c [/ math] una constante [math], [/ math] cambiamos el orden de suma en el primer término para obtener [ matemáticas] [/ matemáticas]

[matemática] \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ 2 \ leq \ frac12 \ left (n \ sum_i x_i ^ 2 + n \ sum_j x_j ^ 2 \ right) [/ math]

[matemáticas] = n \ sum_i x_i ^ 2. [/ matemáticas]

Answer 4

Supongamos que f (x) es una función cóncava hacia arriba. Luego, por la definición de una función cóncava hacia arriba [matemática] f (\ sum a_ix_i) \ leq \ sum a_if (x_i), a_i \ geq 0, \ sum a_i = 1 [/ math]

Tome [matemáticas] f (x) = x ^ 2, a_i = \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

Obtenga: [matemáticas] \ left (\ frac {\ sum x_i} {n} \ right) ^ 2 \ leq \ frac {\ sum x_i ^ 2} {n} [/ math]

Multiplique por [matemática] n ^ 2 [/ matemática] y obtendrá la desigualdad que desea.

Answer 5

Conocemos el siguiente resumen.

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n x_i = \ dfrac {n (n + 1)} 2 [/ matemáticas]

y [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 3 = \ dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} 4 [/ matemáticas]

Entonces LHS [matemáticas] = \ displaystyle \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 3 [/ math]

[matemáticas] = (1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + …… + n ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (1 * 1 ^ 2 + 2 * 2 ^ 2 + 3 * 3 ^ 2 + …… + n * n ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] <(n * 1 ^ 2 + n * 2 ^ 2 + n * 3 ^ 2 + …… + n * n ^ 2) [/ matemáticas]

LHS [matemáticas] <\ displaystyle n \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 6

Solo usa métodos elementales para probar.

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} (x_i-x_j) ^ 2 & \ geq 0 \\ x_i ^ 2 + x_j ^ 2 & \ geq 2x_ix_j \\ x_ix_j & \ leq \ frac 12 \ left (x_i ^ 2 + x_j ^ 2 \ right) \ tag * {(1)} \\ \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n x_i \ right) ^ 2 & = (x_1 + x_2 + \ cdots + x_n) (x_1 + x_2 + \ cdots + x_n) \\ \; & = \ sum_ {i, j \ leq n} x_ix_j \\ \; \ leq \ frac 12 \ sum_ {i, j \ leq n} (x_i ^ 2 + x_j ^ 2) \\ \ text { Dado que cada término se cuenta} & n \ text {veces} \\ \; & = \ frac 12 \ left (2n \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 \ right) \\ \; & = n \ sum_ {i = 1} ^ n x_i ^ 2 \ end {align} [/ math]