Cómo probar la secuencia {n / (n + 3)} es cauchy usando la definición

Answer 1

Tienes que demostrar que [math] \ forall \ epsilon> 0 [/ math] existe [math] N [/ math] tal que [math] | \ frac n {n + 3} – \ frac m {m + 3 } | N. [/ math] Ahora elija [math] \ epsilon> 0. [/ math] Take [math] N = \ frac6 {\ epsilon} [ / math] o el entero más cercano más grande que eso. El factor 6 que arroja para impresionar a su maestro o novia, pero generalmente comienza con [matemáticas] 1 / \ epsilon [/ matemáticas] y mira dónde eso lo lleva a alterar todo en consecuencia después. Ahora

[matemáticas] \ left | \ frac n {n + 3} – \ frac {m} {m + 3} \ right | = \ left | \ frac n {n + 3} -1 + 1 – \ frac m {m +3} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ leq \ izquierda | \ frac n {n + 3} -1 \ derecha | + \ left | \ frac m {m + 3} -1 \ right | [/ math] (desigualdad triangular)

[matemáticas] = \ frac3 {n + 3} + \ frac3 {m + 3} \ leq \ frac3N + \ frac3N = \ epsilon [/ math]

El truco para sustituir el límite dos veces con el signo más y menos es genérico. Cuando no conoces el límite, las cosas se ponen realmente desordenadas.