Un número entero [math] n [/ math] se denomina bueno si la suma de sus dígitos es igual a [math] 2015 – [/ math] [math] n [/ math]. ¿Cuál es la suma de todos los buenos enteros?

Answer 1

Primera idea, [math] n \ leq [/ math] [math] 2015 [/ math].

Esto se debe a que la suma de los dígitos de un número no debe ser negativa.

Deje que [math] d (n) [/ math] denote la suma de los dígitos de [math] n [/ math].

Segunda idea, [matemáticas] d (n) \ leq 28 [/ matemáticas].

Cuando [math] n \ leq 2015 [/ math], [math] d (n) [/ math] es máximo en [math] n = 1999 [/ math].

Por lo tanto, solo necesitamos verificar todos los números en el rango [matemática] [2015-28, 2015] [/ matemática], que en realidad no son tantos números.

Una mirada rápida nos dice que [matemáticas] n = 1993 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 2011 [/ matemáticas] son ​​buenos enteros. Y, sus diferencias con respecto a [matemáticas] 2015 [/ matemáticas], respectivamente, son [matemáticas] 22 [/ matemáticas] y [matemáticas] 4 [/ matemáticas], que son menos de [matemáticas] 28 [/ matemáticas].

La suma de esos son [matemáticas] 1993 + 2011 = 4004 [/ matemáticas].

Aquí está mi código para verificar toda esta información: Ideone.com

Answer 2

Solo agregaré un poco a las dos ideas de Joshua Pan .

Para [math] n \ in \ mathbb N \ cup \ {0 \} [/ math], deje que [math] s (n) [/ math] denote la suma de dígitos [math] ([/ math] en la base [ matemáticas] 10) [/ matemáticas] de [matemáticas] n [/ matemáticas]. Entonces, si [math] n = \ sum_ {k = 0} ^ m a_k \ cdot 10 ^ k [/ math], entonces [math] s (n) = \ sum_ {k = 0} ^ m a_k [/ math] . Como [math] 10 ^ k \ equiv 1 \ bmod {9} [/ math] para cada [math] k \ ge 0 [/ math], tenemos

[matemáticas] n \ equiv s (n) \ pmod {9} [/ matemáticas] [matemáticas] \ ldots (1) [/ matemáticas]

Desde [math] 2015-n = s (n) \ ge 0 [/ math], tenemos [math] n \ le 2015 [/ math]. Y como [math] \ max \ {s (n): 0 \ le n \ le 2015 \} = s (1999) = 28 [/ math], tenemos [math] 2015-n = s (n) \ le 28 [/ math], de modo que [math] n \ ge 1987 [/ math].

De la ec. [matemáticas] (1) [/ matemáticas], [matemáticas] n \ equiv 2015-n \ pmod {9} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] n \ equiv 4 \ pmod {9} [/ math]. Por lo tanto, estamos buscando números de la forma [matemática] 9k + 4 [/ matemática] en el intervalo [matemática] [1987,2015] [/ matemática]; estos son [matemáticas] 1993 [/ matemáticas], [matemáticas] 2002 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2011 [/ matemáticas]. Desde [matemática] d (1993) = 22 = 2015–1993 [/ matemática], [matemática] d (2002) = 4 \ ne 2015–2002 [/ matemática] y [matemática] d (2011) = 4 = 2015 –2011 [/ matemática], los enteros [matemática] “[/ matemática] buena [matemática]” [/ matemática] son ​​[matemática] 1993 [/ matemática] y [matemática] 2011 [/ matemática], y su suma es [matemáticas] 4004 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] a + b + c + d = 2015 – (a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d) [/ matemáticas], donde [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] y [matemáticas] d \ in \ Z [/ math] y [math] 0 <= a, b, c, d <10 [/ math].

[matemáticas] a + b + c + d = 2015 – a * 1000 – b * 100 – c * 10 – d [/ matemáticas]

[matemáticas] 2015 – a * 1001 – b * 101 – c * 11 – 2d = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a * 1001 + b * 101 + c * 11 + 2d – 2015 = 0 [/ matemáticas]

Esta es una ecuación plana. No estoy realmente seguro de cómo resolverlo analíticamente, pero como solo hay 10000 combinaciones, es bastante fácil hacer fuerza bruta.

 >> suma (a * 1000 + b * 100 + c * 10 + d para a en xrange (10) para b en xrange (10) para c en xrange (10) para d en xrange (10) si a * 1001 + b * 101 + c * 11 + 2 * d - 2015 == 0) 4004 

Answer 4

Bueno, no esperaba buenos enteros en absoluto, pero estaba equivocado (para mantener las cosas fáciles, solo miro buenos naturales (esto significa [matemáticas] n \ ge 0 [/ matemáticas]) , por lo tanto, es suficiente probar todos los números más pequeños iguales a [matemáticas] 2015 [/ matemáticas] porque [matemáticas] 2015- \ text {alguna suma de dígitos positiva} [/ matemáticas] nunca será algo más que [matemáticas] 2015 [/ matemáticas]). Bueno, no lo pensé mucho, solo codifiqué en mi consola Python:

  def bueno (n):
     return 2015-sum ([int (i) para i en str (n)]) == n

 para k en rango (2016):
     si es bueno (k):
         imprimir (k)

El resultado fue:

  1993
 2011

Entonces [matemáticas] 1993 + 2011 = 4004 [/ matemáticas].