Si A + B = 45, ¿cuál es el valor de (1 + tanA) (1 + tanB)?

Recuerde que la tangente de la suma de dos ángulos se puede expresar como:

[matemáticas] tan (x + y) = \ frac {tan (x) + tan (y)} {1 – tan (x) tan (y)} [/ matemáticas]

En su caso, [matemática] x = a [/ matemática] y [matemática] y = b [/ matemática].

Entonces:

[matemáticas] tan (a + b) = \ frac {tan (a) + tan (b)} {1 – tan (a) tan (b)} [/ matemáticas]

Como [math] a + b = 45º [/ math], tenemos que [math] tan (a + b) = 1 [/ math].

Por lo tanto: [matemáticas] \ frac {tan (a) + tan (b)} {1 – tan (a) tan (b)} = 1 [/ matemáticas] y por lo tanto [matemáticas] tan (a) + tan (b) = 1 – tan (a) tan (b) [/ math].

Agregar [matemáticas] 1 + tan (a) tan (b) [/ matemáticas] a ambos lados:

[matemáticas] 1 + tan (a) + tan (b) + tan (a) tan (b) = 2 [/ matemáticas]

Factoring: [matemáticas] (1 + tan (a)) (1 + tan (b)) = 2 [/ matemáticas], que es la respuesta buscada.

Dado

[matemáticas] A + B = π / 4 ∵ (π / 4 = 45 °) [/ matemáticas]

Aplicando bronceado en ambos lados

[matemáticas] tan (A + B) = tan45 ° ∵tan (A + B) = {tanA + tanB} ÷ {1-tanAtanB} & tan45 ° = 1 [/ math]

[matemáticas] {tanA + tanB} ÷ {1-tanAtanB} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] tanA + tanB = 1-tanAtanB [/ matemáticas]

[matemáticas] tanA + tanB + tanAtanB = 1 [/ matemáticas]

sumando 1 en ambos lados

[matemáticas] 1 + tanA + tanB (1 + tanA) = 1 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + tanA) (1 + tan [/ matemáticas] [matemáticas] B) = 2 [/ matemáticas]