Si [matemáticas] a + \ frac {1} {a} = – 1 [/ matemáticas], entonces ¿cuál es el valor de [matemáticas] a ^ {2015} + \ frac {1} {a ^ {2015}} [/ matemáticas]?

Dado que…

[matemáticas] a + \ dfrac {1} {a} = – 1… (1) [/ matemáticas]

De (1), obtenemos ..

[matemáticas] a ^ 2 + a + 1 = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow a = \ dfrac {-1 ± \ sqrt {1–4}} {2} [/ math]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} ± i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}, I = \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos (\ dfrac {2π} {3}) ± i \ sin (\ dfrac {2π} {3}) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow a ^ {2015} = [\ cos (\ dfrac {2π} {3}) ± i \ sin (\ dfrac {2π} {3})] ^ {2015} [/ math]

[matemáticas] = \ cos (\ dfrac {4030π} {3}) ± \ sin (\ dfrac {4030π} {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos (1343π + \ dfrac {π} {3}) ± i \ sin (1343π + \ dfrac {π} {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ cos (\ dfrac {π} {3}) \ mp i \ sin (\ dfrac {π} {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} \ mp i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Del mismo modo [matemáticas] \ dfrac {1} {a ^ {2015}} = – \ dfrac {1} {2} ± i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] a ^ {2015} + \ dfrac {1} {a ^ {2015}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} \ mp i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} – \ dfrac {1} {2} ± i \ dfrac {\ sqrt {3}} {2 }[/matemáticas]

[matemáticas] = – 1 [/ matemáticas]

El problema ya está hecho.

Supongo que esas barras invertidas \ deberían haber sido barras diagonales (solidi) /, que denotan división.

Reorganizar para obtener

[matemáticas] a ^ 2 + 1 = -a [/ matemáticas]

(multiplicando por [matemática] a [/ matemática]: no podemos tener [matemática] a = 0 [/ matemática] de todos modos)

Tenga en cuenta que tampoco podemos tener [math] a = 1 [/ math], y multiplique un poco más:

[matemáticas] a ^ 2 + a + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = (a ^ 2 + a + 1) (a – 1) = a ^ 3 – 1 [/ matemáticas] (pero [matemáticas] a [/ matemáticas] no es [matemáticas] 1 [/ matemáticas])

[matemáticas] a ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

Elevar al poder [matemáticas] 672 [/ matemáticas]:

Tenemos [matemáticas] a ^ {2016} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {2015} = a ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {- 2015} = a [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ {2015} + a ^ {- 2015} = a ^ {- 1} + a = -1 [/ matemáticas]

Si a + (1 / a) = -1

Entonces a ^ 2015 + (1 / a ^ 2015) = -2015

En la primera ecuación, la potencia de a es 1, por lo que la respuesta dada es -1

Al compararlo con el segundo … el poder de a es 2015, por lo que la respuesta es -2015.

Espero que ayude 🙂

Al principio, permítanme decir que esta es una pregunta interesante. Cuando tienes un + 1 / a = -1, en virtud de su definición, también tienes un ^ 2 + 1 / a ^ 2 = -1. Esto se debe a que, cuando cuadras ambos lados (a + 1 / a = -1), obtienes a ^ 2 + 2 + 1 / a ^ 2 = 1 y, por lo tanto, a2 + 1 / a ^ 2 es -1 nuevamente.

Lo que lo hace más interesante es el hecho de que cuando encuentras el valor de la expresión a ^ 3 + 1 / a ^ 3, obtienes 2. Esto es porque, cuando tomas el cubo de ambos lados (a + 1 / a = -1), obtienes un ^ 3 + 3 (-1) + 1 / a ^ 3 = -1 y, por lo tanto, a ^ 3 + 1 / a ^ 3 es 2.

Cuando va más allá con las potencias 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, etc., se da cuenta de que los valores son -1, -1 y 2, -1, -1, 2, – 1, -1, 2 y el patrón continúa. Entonces, lo que ves es para cada potencia de 3 (es decir, múltiplo de 3), el resultado es 2 y para todas las demás potencias, el resultado es -1.

Como 2015 no es divisible por 3, podemos decir con confianza y convicción que el valor o resultado de a ^ 2015 + 1 / a ^ 2015 será -1.

Por lo tanto, a ^ 2015 + 1 / a ^ 2015 no es más que -1.

Permítanme decir también que ‘a’ en sí mismo es un Número imaginario y cuando agrega es recíproco, obtiene un número entero normal.

a + 1 / a = -1… .. (1)

(a + 1 / a) ^ 2015 …… .. (2)

Poner el valor de eq1 en eq2

(-1) ^ 2015 = -1

Dado que 2015 es un número impar.

Por lo tanto, la respuesta es -1

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