Método 1
[matemáticas] f (x) = 1 + x ^ {11} + x ^ {22} + x ^ {33} + x ^ {44} [/ matemáticas]
Vamos a encontrar el resto cuando lo dividimos entre [matemáticas] x ^ 5-1 [/ matemáticas]
Para encontrar [matemática] f (x) \ text {(mod} x ^ 5-1) [/ matemática], reemplazamos [matemática] x ^ 5 [/ matemática] por [matemática] 1 [/ matemática]
- ¿Cómo resuelvo el problema 3? Sigo recibiendo 0.25 o 3.98, lo cual no es correcto.
- ¿Cuál es 1 en 1/12 de un átomo de carbono?
- ¿Cuál es el dominio para la siguiente función f (x, y) = x ^ y?
- Si [math] \ frac {x} {y}> 1 [/ math], entonces cuál es mayor [math] \ frac {x} {y} + \ frac {y} {x} [/ math] o [math ] 2 [/ matemáticas]?
- ¿Qué es 5 + 2 * 3?
[matemáticas] f (x) = 1 + x ^ {11} + x ^ {22} + x ^ {33} + x ^ {44} = 1 + x (x ^ 5) ^ 2 + x ^ 2 (x ^ 5) ^ 4 + x ^ 3 (x ^ 5) ^ 6 + x ^ 4 (x ^ 5) ^ 8 \ equiv 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 \ text {(mod} x ^ 5-1) [/ matemáticas]
Es decir,
[matemáticas] f (x) = (x ^ 5-1) g (x) + (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4) (x-1) g (x) + (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = (1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4) [(x-1) g (x) +1] +0 [/ matemáticas]
Así [matemática] R (x) = 0 [/ matemática]
Método 2
[matemáticas] f (x) = 1 + x ^ {11} + x ^ {22} + x ^ {33} + x ^ {44} [/ matemáticas]
Las raíces de [matemáticas] g (x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 = \ dfrac {x ^ 5-1} {x-1} [/ matemáticas] son [matemáticas] \ zeta , \ zeta ^ 2, \ zeta ^ 3, \ zeta ^ 4 [/ math]
donde [math] \ zeta = \ exp \ left (i \ dfrac {2 \ pi} {5} \ right) [/ math]
Nota, [matemáticas] \ zeta ^ 5 = 1 [/ matemáticas]
Ahora, [matemáticas] f (\ zeta ^ k) = 1 + \ zeta ^ {11k} + \ zeta ^ {22k} + \ zeta ^ {33k} + \ zeta ^ {44k} = 1 + \ zeta ^ {k } + \ zeta ^ {2k} + \ zeta ^ {3k} + \ zeta ^ {4k} = 0 [/ matemáticas]
para [matemáticas] k \ in \ {1,2,3,4 \} [/ matemáticas]
Así [matemáticas] (x- \ zeta ^ k) | f (x) [/ matemáticas]
(“|” Significa “divide”)
Entonces, [matemáticas] (x- \ zeta) (x- \ zeta ^ 2) (x- \ zeta ^ 3) (x- \ zeta ^ 4) | f (x) [/ matemáticas]
Eso es [matemáticas] g (x) | f (x) [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] R (x) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ Grande \ en caja {R (1) + 2R (2) + 3R (3) = 0} [/ matemática]