Cómo encontrar el valor de [math] \ displaystyle [/ math] [math] \ int_ {0} ^ {\ infty} [cot ^ {- 1} x] dx, [/ math] donde [.] Denota el mayor función entera

Answer 1

* A2A

La pregunta se reduce a una simple cuando se somete a alguna sustitución,

I = [matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} [/ matemáticas] [matemáticas] [arccotx] dx [/ matemáticas]

Sustituyamos, [math] arccot ​​(x) = (z) [/ math], obtenemos, [math] x = cot (z) [/ math] y [math] dx = (-cosec ^ 2z) dz [ /matemáticas]

Cambio de los límites para las variables, [matemática] x = [/ matemática] [matemática] \ infty [/ matemática], [matemática] t = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 0, t = (\ pi / 2 )[/matemáticas]

I = [matemáticas] – \ int _ {\ pi / 2} ^ {0} [/ matemáticas] [matemáticas] [z] (cosec ^ 2z) dz [/ matemáticas]

Usando la propiedad de integrales definidas, [math] \ int_ {a} ^ {b} [/ math] [math] f (t) dt = [/ math] [math] – \ int_ {b} ^ {a} [/ matemáticas] [matemáticas] f (t) dt [/ matemáticas]

I = [matemáticas] \ int [/ matemáticas] [matemáticas] _ {0} ^ {\ pi / 2} [/ matemáticas] [matemáticas] [z] (cosec ^ 2z) dz [/ matemáticas]

Para [z] la división de integrales resulta ser (0,1) y (1, [math] \ pi [/ math] / 2)

I = [matemática] \ int_ {0} ^ {1} [/ matemática] [matemática] [z] (cosec ^ 2z) dz + [/ matemática] [matemática] \ int_ {1} ^ {\ pi / 2} [/ matemáticas] [[matemáticas] z] (cosec ^ 2z) d [/ matemáticas] z

I = [matemáticas] 0 + \ int [/ matemáticas] [matemáticas] _ {1} ^ {\ pi / 2} [/ matemáticas] [matemáticas] (cosec ^ 2z) dz [/ matemáticas]

I = [matemáticas] [-cot (\ pi / 2) – (- cot (1))] [/ matemáticas]

I = [math] cot (1) [/ math] es la respuesta final.

Answer 2

Ahora, este será el método que usaré para abordar una cuestión de integral definida con la función GIF involucrada.

Usaremos el concepto de que una integral definida de una curva dará el área algebraica limitada por ella entre los intervalos. Por área algebraica, quiero decir que sobre el eje x hay un área positiva y debajo del eje x hay un área negativa. Esto es aplicable para curvas integradas en dx.

Entonces, comenzaremos construyendo, más o menos por supuesto, la curva inversa de Cotangent, que es una curva bien conocida para los estudiantes de secundaria, incluido yo mismo.

La segunda curva representa el GIF de la primera (en rojo). Esto se hace muy fácilmente simplemente analizando los intervalos donde el valor de la curva es 1,2,3,0 etc.

Eso sí, esta no es una representación precisa de cómo se ve la curva. Es simétricamente inexacto, ya que soy muy malo dibujando cosas. También sí, los puntos de discontinuidad también pueden estar equivocados en la curva GIF, pero no son relevantes para la pregunta ya que estaban preocupados por las áreas y los puntos no vinculan área.

Esta es la curva real.

Así que sí.

Como solo nos preocupa el 0 al infinito, solo la parte en la parte derecha del eje y es relevante para nosotros.

Vemos que después de cierto punto, la línea de Gif de la curva se encuentra en el eje xy continúa allí hasta el infinito, el eje x es una asíntota de la curva original, como lo es la línea y = pi

Entonces, el área real que necesitamos, que será el resultado de la integral, es el pequeño rectángulo.

Encontrar el punto en el que la curva GIF comienza a descansar sobre el eje x es la parte principal a partir de ahora,

Por lo tanto, la respuesta es cot (1) w

Answer 3

Deje [math] I = \ int_0 ^ {\ infty} [\ cot ^ {- 1} (x)] \, dx [/ math]

donde [math] [.] [/ math] es la mayor función entera. Aquí la función entera más grande significa el número entero más grande menor o igual que [math] \ cot ^ {- 1} (x) [/ math].

Ahora en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cot ^ {- 1} (0) = \ frac {\ pi} {2} = 1.570796… [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica [\ cot ^ {- 1} (0)] = 1 [/ matemáticas]

Como, [matemática] \ cot ^ {- 1} (x) [/ matemática] disminuye de [matemática] \ frac {\ pi} {2} [/ matemática] a [matemática] 0 [/ matemática] como [matemática] x [/ math] va de [math] 0 [/ math] a [math] \ infty [/ math].

[matemáticas] \ implica [\ cot ^ {- 1} (x)] = 1 \, \, \ forall \, \, x \ in [\ frac {\ pi} {2}, cot (1)] [/ matemáticas]

y [matemáticas] [\ cot ^ {- 1} (x)] = 0 \, \, \ forall \, \, x \ in (cot (1), \ infty) [/ math]

[matemática] \ implica I = \ int_0 ^ {cot (1)} \, dx + \ int_ {cot (1)} ^ {\ infty} 0 \, dx [/ math]

[matemáticas] = x \, | _0 ^ {cot (1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = cot (1) [/ matemáticas]