¿Requiere x ^ (1/3) que x sea mayor o igual a cero? Educación te da un futuro mejor

Esta es realmente una pregunta fascinante que no tiene una respuesta agradable, simple y ordenada.

Si te enfocas en números reales, tenemos la función de cubo mapeando R → R biyetivamente. Esto significa que la función de cubo tiene una función inversa bien definida. No solo eso, la función de cubo es continua, por lo que la función inversa, la raíz del cubo, también debe ser continua.

Esto significa que 2³ = 8 y el único número real con un cubo que es 8 es 2.
Del mismo modo, (−2) ³ = −8 y el único número real con un cubo que es −8 es −2.
Cada número real (positivo, 0, negativo) tiene un cubo único.
Cada número real tiene un valor de contraparte único, llamado raíz del cubo, cuyo cubo es ese número real.
Esto hace que sea muy natural considerar [matemáticas] (- 8) ^ {1/3} = −2 [/ matemáticas] en el contexto de los números reales.

Ahora, echemos un vistazo a los números complejos, con el mapeo de la función de cubo C → C. Esta función no es biyectiva. Sí, es sobreyectivo, porque para cualquier número complejo hay un número complejo cuyo cubo es ese número; sin embargo, no es inyectivo, ya que por cada número complejo distinto de cero hay tres números complejos cuyo cubo es el número dado. Sí, (−2) ³ = −8 todavía, pero también tenemos que (1 + i√3) ³ = −8 y (1 – i√3) ³ = −8. Como la función de cubo tradicional no es biyectiva, no es invertible, por lo que no hay función de raíz de cubo sin hacer algunos ajustes. La técnica generalmente utilizada es, al igual que para las raíces cuadradas de números positivos, elegir una de las raíces como principal, que es convencionalmente la que tiene la mayor parte real y, si hay dos valores con la misma parte real, tome la que tenga Parte imaginaria positiva.

¿Qué significa eso para la raíz cúbica de 8? Hay tres candidatos:
2; −1 + i√3) ³; y −1 – i√3. El que tiene la mayor parte real es 2, que coincide con la raíz cúbica de 8 en el contexto de los números reales.
Ahora, qué sucede para la raíz cúbica de −8. De las tres opciones dadas anteriormente, 1 + i√3 y 1 – i√3 comparten el papel de la mayor parte real; el que tiene una parte imaginaria positiva es 1 + i√3. Por lo tanto, en el contexto de números complejos, la raíz cúbica de −8 es 1 + i√3, mientras que la raíz cúbica de −8 es −2 en el contexto de números reales. ¿Por qué hay esta discrepancia? En el plano complejo, la función raíz del cubo tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo donde hay una discontinuidad. Si uno se acerca a −8 siguiendo el arco circular | z | = 8 comenzando en 8 y yendo en sentido antihorario a través del semiplano imaginario positivo, la función de raíz cúbica se aproxima a 1 + i√3; yendo en el sentido de las agujas del reloj a través del semiplano imaginario negativo, la raíz cúbica se aproxima a 1 – i√3. Este problema no ocurre en el contexto real.

Esto da como resultado la situación peculiar de que la raíz cúbica de −8 produce un resultado diferente en el contexto de números reales versus el contexto de números complejos. ¿Tenemos una incrustación del campo estándar de números reales en el campo estándar de números complejos? ¿No es un −8 real también un complejo −8 y viceversa? Si es así, ¿cómo puede la raíz cúbica del mismo valor tener dos resultados diferentes?

Hay dos soluciones utilizadas para abordar este conflicto:

Los campos de ( R , +, ×) y ( C , +, ×) y la naturaleza de la incrustación se centran en las dos operaciones definitorias de suma y multiplicación más las dos operaciones derivadas basadas en inversas de las operaciones definitorias, a saber, resta y división —No en las raíces. Por lo tanto, esta discrepancia en el valor de algunas raíces cúbicas no es relevante para la decisión de si tenemos una incrustación o no. Es una tontería negar las raíces cúbicas de los números reales negativos dado que la función cúbica de R → R es de hecho biyectiva y la biyectividad significa invertibilidad. Por lo tanto, una función raíz de cubo como la inversa de la función de cubo en los números reales debe considerarse válida y apropiada. Los cortes de rama hacen cosas extrañas a las funciones en el plano complejo, destruyendo la continuidad a lo largo del corte de rama, propiedades de las que ni siquiera somos conscientes cuando nos centramos en el comportamiento de los números reales. Además, cambiar el dominio y el codominio cambian la función: no son la misma función, aunque tengan el mismo propósito básico y se les llame lo mismo. Reemplazamos un conjunto de problemas con otro si modificamos el proceso para determinar la raíz cúbica principal de un número complejo y llamamos a la raíz cúbica de −8 como −2 para todos los contextos. No debemos hacer un gran problema con esta discrepancia. Reconoceremos que la función raíz del cubo aplicada a −8 tiene un valor de −2 para el dominio R y el valor 1 + i√3 para el dominio C. Son funciones diferentes, por lo que aceptaremos resultados diferentes para el mismo valor de entrada y seguiremos adelante.
Para tener algo de cordura y dar al concepto de incrustar un significado completo, debemos obtener el mismo resultado cuando aplicamos el concepto de raíz cúbica a −8. Después de todo, no podemos decir cuándo −8 está sentado allí en la página si es un −8 real o un −8 complejo (o incluso algún otro −8), por lo que el resultado de aplicar la raíz cúbica a −8 no debe dependemos de qué conjunto consideramos que pertenece cualquier uso particular de −8. Si hay un conflicto, y estamos de acuerdo en que estaríamos reemplazando un conjunto de problemas por otro asignando arbitrariamente el valor de −2 para la raíz cúbica de −8 en todos los contextos, el campo complejo, siendo el campo real un subcampo del mismo, debe dominar. Por lo tanto, debemos considerar la raíz cúbica de −8 como 1 + i√3. Como ese valor no es real, no es un elemento del codominio del contexto real de la raíz cúbica. Como el resultado no está en el codominio, no se puede permitir que la imagen previa esté en el dominio. El mismo razonamiento se aplica a todos los números negativos. Por lo tanto, para el contexto de los números reales, debemos excluir los números negativos del dominio, por lo que el dominio debe ser el conjunto de números reales no negativos. Para mantener la bijectividad y la invertibilidad, eso significa que el codominio también debe restringirse a números reales no agresivos. Como resultado (-8) ^ {1/3} no está definido en el contexto de los números reales.

En mi experiencia, la mayoría de los matemáticos adoptan la solución 1, haciendo que la respuesta a la pregunta publicada sea No.
Sin embargo, hay algunos matemáticos, en mi experiencia, en su mayoría alemanes, que adoptan la solución 2, respondiendo a la pregunta publicada Sí.