¿Qué hay de malo con las siguientes manipulaciones matemáticas? [matemáticas] \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = \ sqrt {(- 1) (- 1)} = \ sqrt {1} = 1, \ text {if} \ sqrt {-1} \ text {y} i \ cdot i = -1 [/ math]

Answer 1

Estoy revisando mi respuesta inicial, que era “El problema es que esa propiedad de raíces cuadradas – [matemáticas] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} [/ matemáticas] – solo se aplica cuando a y b son ambos números reales positivos “.

Bueno, resulta que no es tan simple como cualquiera de nosotros está pensando, haber buscado en Google un poco y leer algo de Dr. Math, y la razón se reduce a esto: cada raíz cuadrada tiene una solución [matemática] \ pm [/ matemática]. Así:

[matemáticas] \ sqrt {1} = \ pm 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sqrt {-1} = \ pm i [/ matemáticas]

Así:

• [matemáticas] \ sqrt {1} = \ sqrt {1 \ cdot 1} = \ sqrt {1} \ sqrt {1} = (\ pm 1) (\ pm 1) = \ pm 1 [/ math]
• [matemáticas] \ sqrt {1} = \ sqrt {-1 \ cdot -1} = \ sqrt {-1} \ sqrt {-1} = (\ pm i) (\ pm i) = \ pm 1 [/ math ]

Y:

• [matemáticas] \ sqrt {-1} = \ sqrt {1 \ cdot -1} = \ sqrt {1} \ sqrt {-1} = (\ pm 1) (\ pm i) = \ pm i [/ math]
• (Similar para [matemáticas] -1 \ cdot 1 [/ matemáticas])

Como tal, en realidad no hay ambigüedad, solo una comprensión incompleta en la pregunta inicial. 🙂

Answer 2

¡Furtivo! De acuerdo, para los números reales a, √a se refiere específicamente a la raíz cuadrada positiva. Eso es una convención. La respuesta a “qué cuadrados a” es en realidad “tanto √a como -√a”. Para números complejos, necesitamos definir la convención. Supongamos que, para ser coherentes, elegimos la raíz con el argumento de ángulo positivo más pequeño. Entonces √ (-1) sería específicamente i, no -i. El problema surge cuando se ajusta 360º = 0º, así que para determinar qué ángulo es más pequeño, ¿está comparando 180º con 0º o 180º con 360º? En última instancia, este es un problema con la convención. Si incluye ambas raíces en sus soluciones, no creo que surja ninguna contradicción. Espero que eso ayude.

Answer 3

Su ejemplo ilustra que la regla SQRT (ab) = SQRT (a) SQRT (b) en general no es válida cuando ayb son números complejos no reales. Por lo tanto, el primer signo igual en su ecuación es falso.