¿Cuál es la integración indefinida de [math] \ displaystyle \ \ int \ frac {\ sin x} {\ sin x + \ cos x} dx [/ math]?

Answer 1

Veo que eres un principiante en matemáticas y has dicho ese hecho en negrita: D, por lo tanto, no lo tomas a la ligera.

Proporcionaré un enfoque paso a paso hacia la solución y explicaré cada paso cuando sea necesario.

Dejar,

[matemáticas] \ GRANDE I = \ int \ frac {sinx} {sinx + cosx} dx [/ matemáticas]

Identidad 1:

[matemática] \ LARGE sinx = \ frac {1} {2} (sinx + cosx) – \ frac {1} {2} (cosx-sinx) [/ math]

Úselo en el numerador [matemático] [/ matemático] de [matemáticas] I [/ matemáticas],

[matemática] \ LARGE I = \ int \ frac {\ frac {1} {2} (sinx + cosx) – \ frac {1} {2} (cosx-sinx)} {sinx + cosx} dx [/ math]

Tome [math] \ LARGE \ frac {1} {2} [/ math] common y fuera de las integrales y obtenga lo siguiente:

[matemáticas] \ LARGE I = \ frac {1} {2} \ int \ frac {(sinx + cosx) – (cosx-sinx)} {sinx + cosx} dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ GRANDE I = \ frac {1} {2} \ int \ frac {sinx + cosx} {sinx + cosx} dx- \ frac {1} {2} \ int \ frac {cosx-sinx} {sinx + cosx} dx [/ math]

[matemáticas] \ implica \ GRANDE I = \ frac {1} {2} \ int \ frac {sinx-cosx} {sinx + cosx} dx + \ frac {1} {2} \ int 1 dx [/ matemáticas]

Ahora resuelve la primera parte de la integral,

Pongamos nombre es K,

[matemática] \ GRANDE \ por lo tanto K = \ frac {1} {2} \ int \ frac {sinx-cosx} {sinx + cosx} dx [/ matemática]

Let, [math] \ LARGE \ eta [/ math] [math] = \ LARGE sinx + cosx [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] \ LARGE \ frac {d} {dx} \ eta = \ frac {d} {dx} (sinx + cosx) \ LARGE \ implica \ frac {d} {dx} \ eta = cosx -sinx [ /matemáticas]

[matemática] \ GRANDE \ por lo tanto dx = \ frac {d \ eta} {cosx -sinx} [/ matemática]

Al poner los valores de [math] \ LARGE sinx + cosx [/ math] y [math] \ LARGE dx [/ math] en [math] \ LARGE K [/ math] obtenemos,

[matemática] \ GRANDE \ por lo tanto K = \ frac {1} {2} \ int \ frac {sinx-cosx} {\ eta} \ frac {d \ eta} {cosx -sinx} [/ math]

[matemáticas] \ GRANDES \ implica K = – \ frac {1} {2} \ int \ frac {d \ eta} {\ eta} [/ matemáticas]

Recordemos otra identidad,

[matemáticas] \ GRANDE \ int \ frac {1} {x} dx = \ ln x [/ matemáticas]

[matemática] \ GRANDE \ por lo tanto K = – \ frac {1} {2} \ ln (\ eta) [/ matemática]

[math] \ LARGE \ por lo tanto K = – \ frac {1} {2} \ ln (sinx + cosx) [/ math] sustituyendo [math] \ eta [/ math]

Ahora, vamos a la segunda parte de I,

Digámoslo L,

[matemática] \ LARGE L = \ frac {1} {2} \ int 1 dx [/ math]

Es hora de recordar otra identidad,

[matemáticas] \ GRANDE \ int x ^ {n} dx = \ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1} + C [/ matemáticas]

Si n = 0, entonces,
[matemática] \ GRANDE \ int x ^ {n} dx = \ int x ^ {0} dx [/ matemática]

[matemáticas] \ GRANDE = \ frac {x ^ {0 + 1}} {0 + 1} dx = x [/ matemáticas]

[matemática] \ GRANDE \ por lo tanto L = \ frac {x} {2} [/ matemática]

Ahora,

[matemáticas] \ GRANDE I = K + L. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ GRANDE I = – \ frac {1} {2} \ ln (sinx + cosx) + \ frac {x} {2} + Constante [/ matemáticas]

Como el logaritmo de un número negativo no está definido, agregamos un mod a [math] sinx + cosx. [/ Math]

Así la respuesta final se convierte,

[matemática] \ GRANDE I = – \ frac {1} {2} \ ln (| sinx + cosx |) + \ frac {x} {2} + Constante [/ matemática]

¡Salud!

No es mucho trabajo mental, solo cálculos simples.

Answer 2

Tomar

[matemáticas] I = \ displaystyle \ \ int \ frac {\ sin x} {\ sin x + \ cos x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] J = \ displaystyle \ \ int \ frac {\ cos x} {\ sin x + \ cos x} dx [/ matemáticas]

---

[matemáticas] I + J = \ displaystyle \ \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sin x + \ cos x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] I + J = \ displaystyle \ \ int 1 dx [/ matemáticas]

[matemática] \ en caja {I + J = x + C_1} [/ matemática]

---

[matemáticas] JI = \ displaystyle \ \ int \ frac {\ cos x- \ sin x} {\ sin x + \ cos x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ sen x + \ cos x \ Longrightarrow du = \ cos {x} – \ sin {x} \ dx [/ math]

[matemáticas] JI = \ displaystyle \ \ int \ frac {1} {u} du [/ math]

[matemáticas] JI = \ ln {u} + C_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {JI = \ ln (\ sin {x} + \ cos {x}) + C_2} [/ math]

---

Restando las ecuaciones ..

[matemáticas] (I + J) – (JI) = (x + C_1) – (\ ln (\ sin {x} + \ cos {x}) + C_2) [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ dfrac {x} {2} – \ dfrac {1} {2} \ ln (\ sin {x} + \ cos {x}) + \ dfrac {C_1-C_2} {2} [/ matemáticas]

Dado que [math] \ dfrac {C_1-C_2} {2} [/ math] también es una constante

Por lo tanto,

[matemáticas] \ boxed {I = \ dfrac {x} {2} – \ dfrac {1} {2} \ ln (\ sin {x} + \ cos {x}) + C} [/ math]

---

Puede verificar la respuesta tomando su derivada

¡Espero eso ayude!

Answer 3

Reescribe el numerador como:

[matemático] numerador = \ lambda \ frac {\ mathrm {d} (denominador)} {\ mathrm {d} x} + \ mu (denominador) [/ math]

por lo tanto, [math] sinx = [/ math] [math] \ lambda \ frac {\ mathrm {d} (sinx + cosx)} {\ mathrm {d} x} + \ mu (sinx + cosx) [/ math]

[matemáticas] sinx = \ lambda (cosx – sinx) + \ mu (sinx + cosx) [/ matemáticas]

ahora equipare los coeficientes en ambos lados:

[matemáticas] 1 = \ mu – \ lambda [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = \ mu + \ lambda [/ matemáticas]

al resolver esto obtienes: [matemáticas] \ lambda = [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac {1} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ mu = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1 } {2} [/ matemáticas]

Así podemos reescribir nuestra integral como:

[matemáticas] \ int \ frac {sinx} {sinx + cosx} dx = \ int \ frac {-1} {2} (\ frac {cos x – sinx} {sinx + cosx}) dx + \ int \ frac { 1} {2} (\ frac {sinx + cosx} {sinx + cosx}) dx [/ math]

que es igual a:

[matemáticas] – \ frac {1} {2} \ ln (\ sinx + \ cosx) + \ frac {x} {2} + C [/ matemáticas]