Cómo resolver a = bc ^ xy para x

¿Cómo se resuelve [math] a = bc ^ {xy} [/ math] para [math] x? [/ Math] [1]

Suponga que [math] c \ ne 1, c \ ne 0, y \ ne 0, a \ ne 0, b \ ne 0. [/ math] Comience con la expresión dada:

[matemáticas] \ qquad bc ^ {xy} = a [/ matemáticas]

Divide ambos lados entre [matemáticas] b: [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad c ^ {xy} = \ dfrac {a} {b} [/ matemáticas]

Tome la base de registro [matemática] c [/ matemática] de ambos lados:

[matemáticas] \ qquad xy = \ dfrac {\ log \ left (\ dfrac {a} {b} \ right) +2 \ mathrm i \ pi n} {\ log (c)}, n \ in \ Z, \ log [/ math] es el logaritmo natural

Divide ambos lados entre [matemáticas] y: [/ matemáticas]

[matemáticas] \ qquad x = \ dfrac {\ log \ left (\ dfrac {a} {b} \ right) +2 \ mathrm i \ pi n} {y \ log (c)} [/ math]

Nota: para la solución de valor real, suponga también que [math] \ dfrac {a} {b}> 0, c> 0, [/ math] y [math] n = 0. [/ Math]

Notas al pie

[1] Motor de conocimiento computacional

¿Es esto [matemáticas] a = bc ^ xy [/ matemáticas] o [matemáticas] a = bc ^ {xy} [/ matemáticas]?

(i) Veamos el primero.

Suponga que [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas], [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y \ gt 0 [/ matemáticas] porque Se utilizarán logaritmos naturales.

[matemáticas] a = bc ^ xy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {a} {por} = c ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ln (\ frac {a} {by}) = ln (c ^ x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ln (a) -ln (por) = xln (c) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica xln (c) = ln (a) – (ln (b) + ln (y)) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica xln (c) = ln (a) -ln (b) -ln (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ frac {ln (a) -ln (b) -ln (y)} {ln (c)} [/ matemáticas]

Estos logaritmos se pueden volver a armar usando la regla

[matemáticas] ln (\ frac {m} {n}) = ln (m) -ln (n) [/ matemáticas].

Hice esto y obtuve

[matemáticas] x = \ dfrac {ln (\ frac {a} {por})} {ln (c)} [/ matemáticas]

(ii) La otra ecuación posible:

[matemáticas] a = bc ^ {xy} \ implica ln (a) = ln (bc ^ {xy}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ln (a) = ln (b) + ln (c ^ {xy}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ln (a) -ln (b) = xyln (c) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica xy = \ dfrac {ln (a) -ln (b)} {ln (c)} [/ matemáticas]

[matemática] \ implica x = \ dfrac {ln (a) -ln (b)} {yln (c)} [/ matemática].

Usa la regla del logaritmo para las fracciones nuevamente para convertir esto en un cociente de logaritmos.

[matemáticas] x = \ dfrac {ln (a) -ln (b)} {yln (c)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ dfrac {ln (\ frac {a} {b})} {yln (c)} [/ matemáticas]

a = bc ^ xy

Log a = Log (bc ^ xy)

Log a = xy.Log bc

x = Log a / (y.Log bc)

a / by = c ^ x

㏒a-㏒b-㏒y = x㏒c

x = (㏒a-㏒b-㏒y) / (㏒c)