¿Qué significa la siguiente oración matemática? “El sistema formado por las sucesivas aplicaciones de dilataciones con un centro común constituye un grupo conmutativo”. ¿Qué tienen que ver la teoría de grupos y las transformaciones entre sí?

Answer 1

Los grupos de transformaciones son ubicuos en todas las matemáticas.

En este caso, las dilataciones son transformaciones de escala: mueve cada punto [matemática] (x, y) [/ matemática] a [matemática] (kx, ky) [/ matemática] donde [matemática] k [/ matemática] es su escala factor. Es como explotar todo (o hacia abajo) por un factor de [math] k [/ math].

Las dilataciones son un grupo: las multiplica haciendo una tras otra. Esto le proporciona otra dilatación con el mismo centro, y como puede deshacer una dilatación haciendo estallar con el factor de escala inversa, tiene un grupo.

Y, de hecho, si explota por un factor de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y luego por un factor de [matemáticas] 7 [/ matemáticas], es lo mismo que si hiciera las [matemáticas] 7 [/ matemáticas] primero y las [matemáticas] 3 [/ matemáticas] después. Por eso dicen que este grupo en particular es conmutativo.

Answer 2

Las transformaciones, cuando se aplican sucesivamente, en realidad se convierten en otras transformaciones. Si se considera que la composición de funciones es una operación grupal, se puede construir un grupo a partir de un subconjunto de estas transformaciones que, cuando se componen, crean una nueva transformación que también se encuentra en el conjunto original de transformaciones.

Dilataciones (o dilataciones) con un centro común para formar un grupo conmutativo bajo composición, porque una dilatación del tamaño uno no cambia la función sobre la que actúa, y una dilatación del tamaño [math] \ lambda [/ math] se invierte dilatación de tamaño [matemáticas] 1 / \ lambda [/ matemáticas].

Answer 3

El concepto de grupo es muy general. No todos los grupos normalmente serían percibidos como relacionados con transformaciones. Por otro lado, hay muchos grupos que pueden modelarse en términos de transformaciones. El que usted cita es especialmente simple, siendo isomorfo simplemente a la multiplicación de reales positivos. Un ejemplo más interesante sería el grupo diédrico. Allí estamos hablando de transformaciones que mapean un cuadrado sobre sí mismo.

Sospecho que te refieres a “dilatación”. Pero me da miedo editar la pregunta porque “dilución” es una palabra y es probable que un robot de Quora afirme que he cambiado el significado de la pregunta.

Answer 4

Tienes el centro de un grupo. Supongo que el grupo es un grupo de operadores lineales. Algo así como el grupo lineal general. Estas son transformaciones. Las dilataciones son matrices de escala. Teorema de punto fijo de Banach: Wikipedia, aquí hay un teorema sobre el mapeo de operadores. Útil.