¿Cuál es el límite de usar solo el teorema de Squeeze [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ sqrt {n + 1}} {n} [/ math]? ¿Cómo encuentras qué función poner a la izquierda y cuál a la derecha?

Para la función “a la derecha” (cuando se usa la desigualdad [matemática] \ le [/ matemática]), debe elegir algo que sea un poco más grande pero no tanto como para que el límite se vea afectado. Para la función “a la izquierda”, necesita algo un poco más pequeño pero no tanto como para que el límite se vea afectado.

Sugiero que para su problema, piense en obtener una función más pequeña (“a la izquierda”) haciendo que el numerador sea un poco más pequeño al deshacerse de [math] +1 [/ math]. Utilice [math] \ frac {\ sqrt n} {n} = \ frac 1 {\ sqrt n} [/ math].

Para obtener la función más grande (“a la derecha”), haga que el numerador sea más grande cambiando [math] +1 [/ math] a [math] + n [/ math] (que ciertamente es más grande siempre que [math] n > 1 [/ matemáticas]). Esto proporciona [matemática] \ frac {\ sqrt {n + n}} {n} = \ frac {\ sqrt {2n}} {n} = \ frac {\ sqrt 2} {\ sqrt n} [/ math].

Entonces vemos que para todos [math] n \ ge 1 [/ math], tenemos

[matemáticas] \ frac 1 {\ sqrt n} \ le \ frac {\ sqrt {n + 1}} n \ le \ frac {\ sqrt 2} {\ sqrt n} [/ matemáticas]

Como las dos funciones de límite se limitan a cero como [math] n \ to \ infty [/ math], entonces, según el teorema de compresión, también lo hace la función que está unida.